14.11 • BIO Na alimentaçāo intravenosa, uma agulha é inserida em uma veia no braço do paciente, e um tubo vai da agulha até um reservatório de fluido (densidade igual a 1.050 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) localizado em uma altura h acima do braço. A parte superior do reservatório é aberta para o ar. Se a pressỉo manométrica dentro da veia é 5.980 Pa , qual é o valor mínimo de h para que o fluido possa entrar na veia? Suponha que o diâmetro da agulha seja grande o bastante para que se possa desprezar a viscosidade (veja a Seção 14.6) do fluido.

Passo 1

O enunciado pede o valor mínimo da altura h do reservatório, medido acima do braço, para que o fluido entre na veia. As informações relevantes fornecidas são:
  • Pressão manométrica dentro da veia: 5980\\ \mathrm{Pa}.
  • Densidade do fluido: \rho = 1{,}050\\ \mathrm{kg/m^{3}} (interpretei o dado como mil e cinquenta quilogramas por metro cúbico).
  • A parte superior do reservatório está aberta ao ar, portanto a pressão na superfície do líquido é a pressão atmosférica p_{atm}.
    A pergunta é: qual o menor h tal que o fluido flua do reservatório para dentro da veia?

Passo 2

Conceito de pressão manométrica e pressão absoluta.
  • A pressão manométrica (ou gauge) dado no enunciado é a diferença entre a pressão absoluta na veia e a pressão atmosférica. Isso significa que a pressão absoluta na veia é
p_{\text{veia}} = p_{atm} + 5980.
Aqui p_{atm} é a pressão do ar ao redor (não precisamos do seu valor numérico porque vai se cancelar).

Passo 3

Lei da pressão hidrostática (aula rápida).
  • Em um fluido em repouso, a pressão aumenta com a profundidade segundo a fórmula
p = p_{\text{superf}} + \rho g h,
onde:
  • p é a pressão em um ponto a profundidade h abaixo da superfície do fluido,
  • p_{\text{superf}} é a pressão na superfície do fluido (aqui p_{atm}),
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • h é a diferença de altura vertical entre superfície e o ponto (em \mathrm{m}).
    No nosso caso, a pressão do fluido no nível do braço, no bocal da agulha, é
p_{\text{fluido no braço}} = p_{atm} + \rho g h.ç

Passo 4

Condicão para o fluido entrar na veia e escolha do método.
  • Para que o fluido entre na veia, a pressão do fluido na ponta da agulha deve ser maior que a pressão dentro da veia:
p_{atm} + \rho g h > p_{\text{veia}} = p_{atm} + 5980.
  • Cancelando p_{atm} dos dois lados, obtemos a condição mínima (igualdade) para início de fluxo:
\rho g h = 5980.
Assim o método é usar a equação hidrostática e igualar a diferença de pressão necessária.

Passo 5

Resolver a equação para h e calcular numericamente (mostrando todas as contas).
  • Isolando h:
h = \frac{5980}{\rho g}.
  • Substituindo \rho = 1{,}050\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\rho g = 1{,}050\times9{,}80 = 10\,290\\ \mathrm{N/m^{3}}.
h = \frac{5980}{10\,290}\approx0{,}581124\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando de forma razoável: h\approx0{,}581\\ \mathrm{m}, que equivale a aproximadamente 58{,}1\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Interpretação final e observações práticas (didática e motivacional).
  • O valor calculado é o mínimo idealizado para que a pressão hidrostática vença a pressão manométrica da veia. Na prática convém usar um pouco mais de altura para compensar perdas (se a agulha não for tão larga, viscosidade e pequenas quedas de pressão podem exigir mais altura).
  • Você conseguiu! A conta essencial é sempre a mesma: diferença de pressão que é preciso vencer dividida por \rho g. Guarde essa ideia para problemas de infusionamento, vasos comunicantes e torres de água.

Resposta

\;h_{\min}\approx0{,}581\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados