14.14 ** Você está projetando um sino de mergulho para aguentar a pressio da água do mar até uma profundidade de 250 m . (a) Qual é a pressão manométrica nessa profundidade? (Despreze as variações de densidade da água com a profundidade.) (b) Sabendo que nessa profundidade a pressīo dentro do sino é igual à pressão fora dele, qual é a força resultante exercida pela água fora do sino e pelo ar dentro dele sobre uma janela de vidro circular com diâmetro de 30,0 \mathrm{~cm} ? (Despreze a pequena variaçâo de pressïo sobre a superfície da janela.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (informações extraídas do enunciado):
  • Profundidade: \,h=250\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da janela circular: \,d=30{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}300\\ \mathrm{m}.
  • Afirmação: “a pressão dentro do sino é igual à pressão fora dele” na profundidade dada.
    O enunciado pede:
    (a) a pressão manométrica na profundidade de \,250\\ \mathrm{m} (desprezar variação da densidade);
    (b) a força resultante exercida pela água de fora e pelo ar de dentro sobre a janela circular (desprezar pequena variação de pressão sobre a superfície da janela).

Passo 2

Entender a fórmula que vamos usar para a pressão manométrica e o significado dos termos (aula curta e prática).
  • A pressão manométrica devida a uma coluna de líquido homogênea é dada por
p=\rho g h,
onde:
  • \rho é a densidade do líquido (para água do mar, vamos usar \rho=1025\\ \mathrm{kg/m^{3}}, valor típico);
  • g é a aceleração da gravidade na superfície (vou usar g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}});
  • h é a profundidade da coluna de água ( 250\\ \mathrm{m} aqui).
  • Explicação do que é “pressão manométrica”: é a pressão acima da pressão atmosférica causada somente pela coluna de água. Não inclui a pressão atmosférica que já existe na superfície.
  • Para força sobre uma superfície plana e quase plana (como a janela), a força causada por uma pressão uniforme aproximada é
F=pA,
onde A é a área da superfície. Para uma janela circular de diâmetro d, a área é
A=\pi r^{2}=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}.
Vou calcular primeiro a pressão manométrica e depois as forças.

Passo 3

Cálculo da pressão manométrica usando \,p=\rho g h.
  • Substituindo os valores:
p=(1025\\ \mathrm{kg/m^{3}})\,(9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}})\,(250\\ \mathrm{m}).
  • Vamos multiplicar passo a passo:
1025\times9{,}80=10045\quad(\mathrm{N/m^{3}}),
10045\times250=2\,511\,250\quad(\mathrm{N/m^{2}}).
Portanto a pressão manométrica é
p=2\,511\,250\\ \mathrm{Pa}.
Para apresentar com notação conveniente:
p\approx2,51\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
(Como referência rápida, em atmosferas: \dfrac{2{,}511{,}250}{1{,}013\times10^{5}}\approx24{,}8\\ \mathrm{atm}, ou seja, cerca de 24{,}8 vezes a pressão atmosférica.)

Passo 4

Cálculo da área da janela circular.
  • Raio da janela:
r=\frac{d}{2}=\frac{0{,}300\\ \mathrm{m}}{2}=0{,}150\\ \mathrm{m}.
  • Área:
A=\pi r^{2}=\pi(0{,}150)^{2}=\pi(0{,}0225)=0{,}0706858\\ \mathrm{m^{2}}\\ \text{(aprox.)}.

Passo 5

Cálculo da força exercida pela água do lado de fora (magnitude).
  • Força externa aproximada:
F_{\text{fora}}=pA=(2{,}511{,}250\\ \mathrm{Pa})\times(0{,}0706858\\ \mathrm{m^{2}}).
  • Multiplicando:
F_{\text{fora}}\approx177\,300\\ \mathrm{N}\quad(\text{aprox.}).
Arredondando com três dígitos significativos:
F_{\text{fora}}\approx1,77\times10^{5}\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Cálculo da força exercida pelo ar dentro do sino (magnitude) e força resultante.
  • Como o enunciado diz que “a pressão dentro do sino é igual à pressão fora dele” nessa profundidade, a pressão interna sobre a janela é a mesma que a externa: \,p_{\text{dentro}}=p_{\text{fora}}=p.
  • Assim a força exercida pelo ar de dentro tem magnitude igual:
F_{\text{dentro}}=pA\approx1,77\times10^{5}\\ \mathrm{N},
mas atua para fora (direção oposta à força da água).
  • A força resultante sobre a janela é a soma vetorial (externa para dentro positiva, interna para fora negativa), ou simplesmente a diferença:
F_{\text{res}}=F_{\text{fora}}-F_{\text{dentro}}=pA-pA=0\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação física curta e motivadora: embora haja forças grandes (da ordem de 1{,}8\times10^{5}\\ \mathrm{N}) empurrando nos dois lados, elas se equilibram porque as pressões são iguais. Na prática isso significa que a janela não é empurrada linearmente para dentro ou para fora, mas precisa ser projetada para suportar essas grandes forças de compressão e possíveis diferenças locais (armação, selagem, variações etc.).

Resposta

(a) 2,51\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} (pressão manométrica na profundidade de 250\\ \mathrm{m}).
(b) 0\\ \mathrm{N} (força resultante sobre a janela; forças individuais aproximadamente 1,77\times10^{5}\\ \mathrm{N} em cada sentido).

Exercícios relacionados