14.14 ** Você está projetando um sino de mergulho para aguentar a pressio da água do mar até uma profundidade de 250 m . (a) Qual é a pressão manométrica nessa profundidade? (Despreze as variações de densidade da água com a profundidade.) (b) Sabendo que nessa profundidade a pressīo dentro do sino é igual à pressão fora dele, qual é a força resultante exercida pela água fora do sino e pelo ar dentro dele sobre uma janela de vidro circular com diâmetro de
? (Despreze a pequena variaçâo de pressïo sobre a superfície da janela.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (informações extraídas do enunciado):
- Profundidade:
. - Diâmetro da janela circular:
. - Afirmação: “a pressão dentro do sino é igual à pressão fora dele” na profundidade dada.
O enunciado pede:
(a) a pressão manométrica na profundidade de(desprezar variação da densidade);
(b) a força resultante exercida pela água de fora e pelo ar de dentro sobre a janela circular (desprezar pequena variação de pressão sobre a superfície da janela).
Passo 2
Entender a fórmula que vamos usar para a pressão manométrica e o significado dos termos (aula curta e prática).
- A pressão manométrica devida a uma coluna de líquido homogênea é dada por
onde:
-
é a densidade do líquido (para água do mar, vamos usar , valor típico); -
é a aceleração da gravidade na superfície (vou usar ); -
é a profundidade da coluna de água ( aqui). - Explicação do que é “pressão manométrica”: é a pressão acima da pressão atmosférica causada somente pela coluna de água. Não inclui a pressão atmosférica que já existe na superfície.
- Para força sobre uma superfície plana e quase plana (como a janela), a força causada por uma pressão uniforme aproximada é
onde
é a área da superfície. Para uma janela circular de diâmetro
, a área é
Vou calcular primeiro a pressão manométrica e depois as forças.
Passo 3
Cálculo da pressão manométrica usando
.
- Substituindo os valores:
- Vamos multiplicar passo a passo:
Portanto a pressão manométrica é
Para apresentar com notação conveniente:
(Como referência rápida, em atmosferas:
, ou seja, cerca de
vezes a pressão atmosférica.)
Passo 4
Cálculo da área da janela circular.
- Raio da janela:
- Área:
Passo 5
Cálculo da força exercida pela água do lado de fora (magnitude).
- Força externa aproximada:
- Multiplicando:
Arredondando com três dígitos significativos:
Passo 6
Cálculo da força exercida pelo ar dentro do sino (magnitude) e força resultante.
- Como o enunciado diz que “a pressão dentro do sino é igual à pressão fora dele” nessa profundidade, a pressão interna sobre a janela é a mesma que a externa:
. - Assim a força exercida pelo ar de dentro tem magnitude igual:
mas atua para fora (direção oposta à força da água).
- A força resultante sobre a janela é a soma vetorial (externa para dentro positiva, interna para fora negativa), ou simplesmente a diferença:
- Interpretação física curta e motivadora: embora haja forças grandes (da ordem de
) empurrando nos dois lados, elas se equilibram porque as pressões são iguais. Na prática isso significa que a janela não é empurrada linearmente para dentro ou para fora, mas precisa ser projetada para suportar essas grandes forças de compressão e possíveis diferenças locais (armação, selagem, variações etc.).
Resposta
(a)
(pressão manométrica na profundidade de
).
(b) (força resultante sobre a janela; forças individuais aproximadamente
em cada sentido).
(b)