14.9) Oceanos em Marte. Cientistas encontraram indícios de que Marte pode ter tido um oceano com 0,500 \mathrm{~km} de profundidade. A aceleraçāo da gravidade em Marte é 3,71 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. (a) Qual seria a pressĩo manométrica no fundo desse oceano, supondo que ele fosse de água doce? (b) A que profundidade você precisaria descer nos oceanos da Terra para ser submetido à mesma pressia manométrica?
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Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado).
  • Profundidade do suposto oceano em Marte: 0,500\\ \mathrm{km}.
  • Aceleração da gravidade em Marte: 3,71\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Pedidos:
    (a) Calcular a pressão manométrica no fundo desse oceano supondo água doce.
    (b) Calcular a que profundidade na Terra teria a mesma pressão manométrica.

Passo 2

Conversões e valores que vamos usar (explicando o porquê):
  • Converter profundidade para metros porque a fórmula hidrostática usa unidades do SI: 0,500\\ \mathrm{km} = 0,500\times10^{3}\\ \mathrm{m} = 500\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da água doce (valor padrão usado em problemas básicos): \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Vou usar esse valor porque o enunciado não dá outra densidade.
  • Pressão manométrica (ou gauge) é a pressão devido somente à coluna de líquido, ou seja, exclui a pressão atmosférica. A fórmula básica é \,p_{\text{man}}=\rho g h\,, onde:
    • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
    • g é a aceleração da gravidade local ( \mathrm{m/s^{2}}),
    • h é a profundidade ou altura da coluna de fluido ( \mathrm{m}).
      Explicação rápida de onde vem \,p=\rho g h\,: a variação de pressão com a profundidade obedece \,dp=-\rho g\,dz. Integrando da superfície ( p=0 manométrico, em z=0) até z=-h obtém-se \,p=\rho g h\,. Isso é a lei da hidrostática.

Passo 3

Calcular a pressão manométrica no fundo em Marte usando \,p=\rho g h\,. Colocar os valores já convertidos:
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad g_{\text{Marte}} = 3,71\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad h = 500\\ \mathrm{m}.
Aplicando:
p_{\text{Marte}} = \rho\,g_{\text{Marte}}\,h = 1000 \times 3,71 \times 500\\ \mathrm{Pa}.
Faço as contas em etapas:
1000\times 500 = 500000,
500000\times 3,71 = 1855000.
Portanto,
p_{\text{Marte}} = 1\,855\,000\\ \mathrm{Pa} = 1,855\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando para três algarismos significativos (consistente com os dados):
p_{\text{Marte}}\approx 1,86\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Também é útil apresentar em outras unidades comuns:
  • em quilopascal: 1,86\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=1860\\ \mathrm{kPa} (ou, com os números exatos anteriores, 1855\\ \mathrm{kPa});
  • em bar ( 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}): p_{\text{Marte}}\approx \frac{1,855\times10^{6}}{10^{5}}=18,55\\ \mathrm{bar}\approx 18,6\\ \mathrm{bar}.
  • em atmosferas ( 1\\ \mathrm{atm}\approx1,013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
p_{\text{Marte}}\approx\frac{1,855\times10^{6}}{1,013\times10^{5}}\approx18,3\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Agora (b): encontrar a profundidade h_{\text{Terra}} tal que a pressão manométrica gerada pela água na Terra seja igual a p_{\text{Marte}}. Usamos a mesma fórmula invertida:
h_{\text{Terra}}=\frac{p_{\text{Marte}}}{\rho\,g_{\text{Terra}}}.
Escolho g_{\text{Terra}}=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão aproximado). Usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e p_{\text{Marte}}=1\,855\,000\\ \mathrm{Pa}:
h_{\text{Terra}}=\frac{1\,855\,000}{1000\times 9,80}\\ \mathrm{m}.
Faço a divisão:
1000\times 9,80 = 9800,
h_{\text{Terra}} = \frac{1\,855\,000}{9800}\approx 189,2857\\ \mathrm{m}.
Arredondando de modo coerente: h_{\text{Terra}}\approx 189\\ \mathrm{m}\approx 0,189\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Interpretação e dica para prova (resumindo o raciocínio de forma prática):
  • Em um problema desses, sempre converta tudo para SI (metros, kg, s) antes de aplicar \,p=\rho g h\,.
  • Lembre que pressão manométrica não inclui a pressão atmosférica (é só a coluna de água). Se pedissem pressão absoluta, somaria p_{\text{atm}}.
  • Para comparar locais com gravidades diferentes, mantenha a mesma densidade do fluido se o problema pedir (aqui água doce), e ajuste só g e h.

Resposta

(a) p_{\text{man}} \approx 1,86\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 1855\\ \mathrm{kPa}, 18,6\\ \mathrm{bar}).
(b) h_{\text{Terra}} \approx 189\\ \mathrm{m} (aprox. 0,189\\ \mathrm{km}).

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