14.9) Oceanos em Marte. Cientistas encontraram indícios de que Marte pode ter tido um oceano com
de profundidade. A aceleraçāo da gravidade em Marte é
. (a) Qual seria a pressĩo manométrica no fundo desse oceano, supondo que ele fosse de água doce? (b) A que profundidade você precisaria descer nos oceanos da Terra para ser submetido à mesma pressia manométrica?
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Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os números do enunciado).
- Profundidade do suposto oceano em Marte:
. - Aceleração da gravidade em Marte:
. - Pedidos:
(a) Calcular a pressão manométrica no fundo desse oceano supondo água doce.
(b) Calcular a que profundidade na Terra teria a mesma pressão manométrica.
Passo 2
Conversões e valores que vamos usar (explicando o porquê):
- Converter profundidade para metros porque a fórmula hidrostática usa unidades do SI:
- Densidade da água doce (valor padrão usado em problemas básicos):
. Vou usar esse valor porque o enunciado não dá outra densidade. - Pressão manométrica (ou gauge) é a pressão devido somente à coluna de líquido, ou seja, exclui a pressão atmosférica. A fórmula básica é
, onde: -
é a densidade do fluido ( ), -
é a aceleração da gravidade local ( ), -
é a profundidade ou altura da coluna de fluido ( ).
Explicação rápida de onde vem: a variação de pressão com a profundidade obedece . Integrando da superfície ( manométrico, em ) até obtém-se . Isso é a lei da hidrostática.
-
Passo 3
Calcular a pressão manométrica no fundo em Marte usando
. Colocar os valores já convertidos:
Aplicando:
Faço as contas em etapas:
Portanto,
Arredondando para três algarismos significativos (consistente com os dados):
Também é útil apresentar em outras unidades comuns:
- em quilopascal:
(ou, com os números exatos anteriores, ); - em bar (
): - em atmosferas (
):
Passo 4
Agora (b): encontrar a profundidade
tal que a pressão manométrica gerada pela água na Terra seja igual a
. Usamos a mesma fórmula invertida:
Escolho
(valor padrão aproximado). Usando
e
:
Faço a divisão:
Arredondando de modo coerente:
Passo 5
Interpretação e dica para prova (resumindo o raciocínio de forma prática):
- Em um problema desses, sempre converta tudo para SI (metros, kg, s) antes de aplicar
. - Lembre que pressão manométrica não inclui a pressão atmosférica (é só a coluna de água). Se pedissem pressão absoluta, somaria
. - Para comparar locais com gravidades diferentes, mantenha a mesma densidade do fluido se o problema pedir (aqui água doce), e ajuste só
e .
Resposta
(a)
(aprox.
,
).
(b) (aprox.
).
(b)