14.13 Gás natural ( \rho=0,0044 slug/ft³ \mathrm{e} v=5,2 \times 10^{-5} \mathrm{ft} 2 / \mathrm{s} ) é bombeado através de um tubo horizontal de ferro fundido de 6 in de diâmetro com uma vazão mássica de 800 \mathrm{lb} / \mathrm{h}. Se a pressão na seção (1) é 50 psi (abs), determine a pressão na seção (2) 8 milhas a jusante se o escoamento for admitido como incompressível.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a pressão na seção (2), a 8 milhas a jusante, sabendo que o gás natural pode ser tratado como incompressível. Dados fornecidos (vou listar tudo com unidades consistentes):
\begin{aligned} &\rho = 0{,}0044\\ \text{slug/ft}^3 \quad\text{(densidade)}\\\ &\nu = 5{,}2\times 10^{-5}\\ \text{ft}^2/\text{s} \quad\text{(viscosidade cinemática)}\\\ &D = 6\\ \text{in} = 0{,}5\\ \text{ft} \quad\text{(diâmetro do tubo)}\\\ &\dot m = 800\\ \text{lb/h} \quad\text{(vazão mássica)}\\\ &p_1 = 50\\ \text{psi (abs)} \quad\text{(pressão na seção 1)}\\\ &L = 8\\ \text{mi} = 8\cdot 5280 = 42240\\ \text{ft} \quad\text{(comprimento entre seções)}\\\ &\text{Material: ferro fundido (vamos usar rugosidade típica } \varepsilon\text{)}. \end{aligned}áâãáãçãçõí
O que nos falta para calcular p_2: estimar a perda de carga por atrito ao longo de L e subtrair essa perda de p_1. Para isso precisamos da velocidade média V, do número de Reynolds \mathrm{Re} e do fator de atrito f.

Passo 2

Converter a vazão mássica para unidades compatíveis com \rho. A densidade está em \text{slug/ft}^3, então convertemos \dot m para \text{slug/s}.
Relação entre massa em libras (lbm) e slug:
1\\ \text{slug} = 32{,}174\\ \text{lbm}.
Logo
\dot m = 800\\ \frac{\text{lb}}{\text{h}} = \frac{800}{32{,}174}\\ \frac{\text{slug}}{\text{h}}.
Agora converter horas para segundos:
\dot m = \frac{800}{32{,}174}\cdot\frac{1}{3600}\\ \frac{\text{slug}}{\text{s}}.
Calculemos numericamente:
\dot m \approx 0{,}006909\\ \text{slug/s}.

Passo 3

Calcular a área da seção do tubo e a velocidade média V.
Área:
A = \frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}5)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}0625 \approx 0{,}19635\\ \text{ft}^2.
Relação entre vazão mássica, densidade, área e velocidade:
\dot m = \rho A V \quad\Rightarrow\quad V = \frac{\dot m}{\rho A}.
Substituindo números:
V = \frac{0{,}006909}{0{,}0044\cdot 0{,}19635}\\ \text{ft/s}.
Calcule:
0{,}0044\cdot 0{,}19635 = 0{,}00086394
V \approx \frac{0{,}006909}{0{,}00086394} \approx 8{,}00\\ \text{ft/s}.
Comentário didático: a velocidade deu um número redondinho ( 8\\ \text{ft/s}), o que facilita contas posteriores.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re} para identificar o regime de escoamento.
Definição:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu},
onde V é a velocidade média (ft/s), D o diâmetro (ft) e \nu a viscosidade cinemática (ft^2/s).
Substituindo:
\mathrm{Re} = \frac{8{,}00\cdot 0{,}5}{5{,}2\times 10^{-5}} = \frac{4}{5{,}2\times 10^{-5}}.
Calcule:
\mathrm{Re} \approx 76923.
Comentário: \mathrm{Re}\approx 7{,}7\times 10^{4}, portanto o escoamento é turbulento (Regime turbulento em tubos normalmente para \mathrm{Re}\gtrsim 4000).

Passo 5

Escolher método para obter o fator de atrito f. Em tubos turbulentos com rugosidade relativa \varepsilon/D reconhecemos que o fator f depende tanto de \mathrm{Re} quanto da rugosidade relativa. A equação implícita mais usada é a de Colebrook, mas ela exige iteração. Para ser explícito e rápido (útil na prova) usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain (uma aproximação muito boa para \mathrm{Re}>5000):
Fórmula de Swamee–Jain:
f = 0{,}25\bigg[\log_{10}\!\Big(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Big)\bigg]^{-2}.
Precisamos de \varepsilon (rugosidade absoluta) para ferro fundido. Valor típico tabelado: \varepsilon \approx 8{,}5\times 10^{-4}\\ \text{ft} (0,00085 ft). Vou usar esse valor (se a sua tabela der outro, proceda do mesmo jeito trocando \varepsilon).
Calculemos termos intermediários:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{8{,}5\times 10^{-4}}{0{,}5}=1{,}7\times 10^{-3}.
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{1{,}7\times 10^{-3}}{3{,}7}\approx 4{,}595\times 10^{-4}.
\mathrm{Re}^{0{,}9}=(7{,}6923\times 10^{4})^{0{,}9}\approx 2{,}488\times 10^{4}.
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx \frac{5{,}74}{2{,}488\times 10^{4}}\approx 2{,}307\times 10^{-4}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 4{,}595\times 10^{-4} + 2{,}307\times 10^{-4} = 6{,}902\times 10^{-4}.
Agora o logaritmo:
\log_{10}(6{,}902\times 10^{-4}) \approx -3{,}161.
Aplicando Swamee–Jain:
f = 0{,}25\big(-3{,}161\big)^{-2} = \frac{0{,}25}{9{,}997} \approx 0{,}0250.
Comentário: f\approx 0{,}025 é um valor típico para tubos relativamente rugosos em regime turbulento. Se preferir, poderia obter f pela equação de Colebrook iterando — daria praticamente o mesmo resultado.

Passo 6

Calcular a perda de pressão por atrito ao longo do comprimento usando a equação de Darcy–Weisbach (forma em termos de pressão):
Fórmula:
\Delta p = f\frac{L}{D}\cdot\frac{\rho V^2}{2}.
Explicando cada termo:
  • \Delta p é a perda de pressão (lbf/ft^2).
  • f é o fator de atrito (adimensional).
  • L é o comprimento do tubo (ft).
  • D é o diâmetro (ft).
  • \rho é a densidade ( \text{slug/ft}^3).
  • V é a velocidade média (ft/s).
  • O termo \rho V^2/2 é a pressão dinâmica (em lbf/ft^2 porque 1\\ \text{lbf}=1\\ \text{slug}\cdot\text{ft}/\text{s}^2).
Já temos f=0{,}0250, L/D = 42240/0{,}5 = 84480, \rho V^2/2 = 0{,}0044\cdot \dfrac{8^2}{2}.
Calcule a pressão dinâmica:
\frac{\rho V^2}{2} = 0{,}0044\cdot \frac{64}{2} = 0{,}0044\cdot 32 = 0{,}1408\\ \text{lbf/ft}^2.
Agora:
\Delta p = 0{,}0250\cdot 84480 \cdot 0{,}1408.
Calcule passo a passo:
0{,}0250\cdot 84480 = 2112,
\Delta p = 2112\cdot 0{,}1408 \approx 297{,}5\\ \text{lbf/ft}^2.
Converter \Delta p para psi (1 psi = 1 lbf/in^2 = 144 lbf/ft^2):
\Delta p = \frac{297{,}5}{144}\\ \text{psi} \approx 2{,}066\\ \text{psi}.

Passo 7

Determinar p_2 subtraindo a perda de pressão de p_1. Lembre que p_1 é 50\\ \text{psi (abs)} (dado):
p_2 = p_1 - \Delta p = 50 - 2{,}066 \approx 47{,}934\\ \text{psi (abs)}.
Arredondando para dois decimais (suficiente para a prova) temos p_2\approx 47{,}93\\ \text{psi (abs)}.

Resposta

p_2 = 47{,}93\\ \text{psi (abs)}

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