14.11 Uma mangueira de 0,5 in de diâmetro, 70 ft de comprimento com uma rugosidade \varepsilon=0,0009 \mathrm{ft} é fixada a uma torneira onde a pressão é p_{1}. Determine p_{1} sabendo que não há nenhum bocal fixado à mangueira e que a velocidade média do fluido na mangueira é de 6 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. Despreze as perdas de carga localizadas e as variações de elevação.

Passo 1

O enunciado dá uma mangueira com as seguintes informações e pede a pressão na torneira p_{1}:
\text{diâmetro: }D = 0{,}5\\ \text{in}â
\text{comprimento: }L = 70\\ \text{ft}
\text{rugosidade absoluta: }\varepsilon = 0{,}0009\\ \text{ft}
\text{velocidade média do fluido na mangueira: }V = 6\\ \text{ft/s}é
Condições adicionais dadas pelo enunciado:
\text{não há bocal na saída (ou seja, saída para a atmosfera) e}ãáíí
\text{desprezaram-se perdas localizadas e variações de elevação.}çõçã
O que precisamos determinar: p_{1} (a pressão na torneira). Vou assumir que a saída está à pressão atmosférica p_{2}=p_{atm}, portanto o que calcularemos inicialmente é a diferença de pressão necessária para vencer as perdas por atrito ao longo da mangueira e, a partir disso, obter p_{1} (em pressão manométrica em relação à atmosfera).
Observação: o enunciado não especificou o fluido; vou assumir que é água a temperatura ambiente. Para água uso propriedades típicas:
\gamma = 62{,}4\\ \text{lb/ft}^3\quad\text{(peso específico)}í
\nu = 1{,}10\times 10^{-5}\\ \text{ft}^2/\text{s}\quad\text{(viscosidade cinemática aproximada)}á

Passo 2

Qual método vamos usar (em linguagem simples): a diferença de pressão entre a torneira e a saída é a pressão necessária para vencer as perdas por atrito na mangueira. Essas perdas são calculadas com a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga em termos de altura (head). Em sequência vamos:
  1. Converter unidades (diâmetro para pés).
  2. Calcular o número de Reynolds para saber o regime de escoamento.
  3. Determinar o fator de atrito f (usando a fórmula explícita de Swamee–Jain, que é prática em provas).
  4. Calcular a perda de carga h_f pela fórmula de Darcy–Weisbach.
  5. Converter h_f em diferença de pressão \Delta p = p_{1}-p_{2} usando \gamma e apresentar p_{1} em psi (manométrica) e em absoluta (se quiser comparar com p_{atm}). Vou mostrar cada fórmula e explicar o que significa cada símbolo quando usada.

Passo 3

Conversão de diâmetro para pés (sempre faça na prova!):
D = 0{,}5\\ \text{in} = \frac{0{,}5}{12}\\ \text{ft} = 0{,}0416667\\ \text{ft}.
Calculei D dividindo polegadas por 12 para transformar em pés.

Passo 4

Cálculo do número de Reynolds. O número de Reynolds indica se o escoamento é laminar ou turbulento. A fórmula é
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu},
onde \mathrm{Re} é adimensional, V é a velocidade média (\text{ft/s}), D é o diâmetro (\text{ft}) e \nu é a viscosidade cinemática (\text{ft}^2/\text{s}). Substituindo:
\mathrm{Re} = \frac{6\cdot 0{,}0416667}{1{,}10\times 10^{-5}} \approx 22727.
Interpretação rápida: \mathrm{Re}\approx 2{,}27\times 10^{4}, que é bem maior que 4000, logo o escoamento é turbulento.

Passo 5

Calcule a rugosidade relativa (importante para escolher como obter o fator de atrito):
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0{,}0009}{0{,}0416667}\approx 0{,}0216.
Isso significa que a rugosidade relativa é cerca de 2{,}16\%, valor relativamente grande, o que indica que o efeito da rugosidade na perda por atrito é importante (regime turbulento com influência da rugosidade).

Passo 6

Escolha do método para achar o fator de atrito f: em escoamento turbulento com rugosidade, o fator f é dado implicitamente pela equação de Colebrook. Para resolução rápida na prova usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain (é uma aproximação prática e precisa):
\displaystyle f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Aqui \log_{10} é o logaritmo de base 10. Agora substituímos os valores já obtidos.

Passo 7

Cálculo numérico do fator f:
Primeiro os termos dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{0{,}0009}{3{,}7\cdot 0{,}0416667}\approx 0{,}0058387,
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{(2{,}2727\times 10^{4})^{0{,}9}}\approx 0{,}000691.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 0{,}006529.
Agora o logaritmo:
\log_{10}(0{,}006529)\approx -2{,}1859.
Finalmente:
f \approx \frac{0{,}25}{(-2{,}1859)^2}\approx 0{,}0524.
Comentário: f\approx 0{,}0524 é um valor típico para tubos relativamente rugosos com pequeno diâmetro e Re turbulento.

Passo 8

Cálculo da perda de carga por atrito h_f pela fórmula de Darcy–Weisbach:
\boxed{\,h_f = f\;\frac{L}{D}\;\frac{V^{2}}{2g}\,}
onde h_f está em pés de coluna de fluido, g=32{,}2\\ \text{ft/s}^2. Substituindo:
\frac{L}{D}=\frac{70}{0{,}0416667}=1680,
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{6^{2}}{2\cdot 32{,}2}=\frac{36}{64{,}4}\approx 0{,}5584\\ \text{ft}.
Então
h_f \approx 0{,}0524\cdot 1680\cdot 0{,}5584 \approx 49{,}1\\ \text{ft}.
Interpretação: para manter 6\\ \text{ft/s} ao longo dos 70\\ \text{ft} de mangueira precisamos de cerca de 49{,}1 pés de carga (head) a mais na torneira.

Passo 9

Converter h_f em diferença de pressão. A relação entre carga h (em pés) e pressão é:
\Delta p = \gamma\, h,
onde \gamma é o peso específico do fluido (para água usei \gamma=62{,}4\\ \text{lb/ft}^3). Assim
\Delta p = p_{1}-p_{2} = 62{,}4\cdot 49{,}1 \approx 3067\\ \text{lb/ft}^2.
Para ficar em unidades mais utilizadas (psi), dividimos por 144 (pois 1\\ \text{psi}=1\\ \text{lb/in}^2 = 144\\ \text{lb/ft}^2):
\Delta p \approx \frac{3067}{144}\approx 21{,}3\\ \text{psi}.
Portanto a pressão na torneira em relação à atmosfera (pressão manométrica) é cerca de 21{,}3\\ \text{psi}.
Se você quiser a pressão absoluta, some a pressão atmosférica típica p_{atm}\approx 14{,}7\\ \text{psi}:
p_{1}^{\text{(absoluta)}} \approx 14{,}7 + 21{,}3 \approx 36{,}0\\ \text{psi}.

Resposta

p_{1} (pressão manométrica, relativa à atmosfera) \approx 21{,}3\\ \text{psi}
p_{1} (pressão absoluta, assumindo p_{atm}=14{,}7\\ \text{psi}) \approx 36{,}0\\ \text{psi}

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