14.18 ** BIO A ponta inferior de um canudo longo de plástico é submergida na água em um copo de plástico. Uma pessoa normal, sugando na ponta superior do canudo, pode puxar a água no canudo até uma altura vertical de 1,1 \mathrm{~m} acima da superfície da água na xícara. (a) Qual é a menor pressão manométrica que essa pessoa pode conseguir dentro de seus pulmões? (b) Explique por que sua resposta no item (a) é negativa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Altura da coluna de água que a pessoa consegue levantar: h=1,1\\ \mathrm{m}.
    • Densidade da água (valor que usamos como padrão): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Aceleração da gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O enunciado pede:
    • (a) Qual é a menor pressão manométrica que essa pessoa pode conseguir dentro de seus pulmões? (ou seja, a pressão relativa ao nível da pressão atmosférica).
    • (b) Explicar por que a resposta em (a) é negativa.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (aula rápida): pressão hidrostática.
  • A pressão em um fluido em equilíbrio varia com a profundidade. Se num ponto mais baixo a pressão é p_0, então a uma distância vertical h acima desse ponto a pressão é menor segundo a fórmula
p = p_0 - \rho g h,
onde:
  • p é a pressão no ponto mais alto,
  • p_0 é a pressão no ponto mais baixo (ou na superfície de referência),
  • \rho é a densidade do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a diferença de altura (positivo quando subimos).
No nosso problema, o ponto de referência é a superfície livre da água no copo, onde a pressão é a pressão atmosférica p_{\text{atm}}. A água no canudo sobe até altura h acima dessa superfície, portanto a pressão no topo da coluna (próxima à boca/pulmões) é
p_{\text{pulmões}} = p_{\text{atm}} - \rho g h.õ

Passo 3

Definição de pressão manométrica (o que a questão chama de “pressão manométrica”):
  • Pressão manométrica é a pressão medida em relação à pressão atmosférica, ou seja
p_{\text{man}} = p_{\text{pulmões}} - p_{\text{atm}}.õ
Substituindo a expressão do passo anterior para p_{\text{pulmões}}õ obtemos a relação direta com a coluna de líquido:
p_{\text{man}} = \bigl(p_{\text{atm}} - \rho g h\bigr) - p_{\text{atm}} = -\rho g h.
Esta fórmula já diz o essencial: para manter a água subindo uma altura h, a pressão nos pulmões tem que ser menor que a atmosférica exatamente em \rho g h.

Passo 4

Agora fazemos o cálculo numérico substituindo os valores dados.
  • Primeiro calculemos o produto \rho g h:
\rho g h = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\times 1,1\\ \mathrm{m}.
  • Fazendo as contas:
\rho g h = 1000 \times 9,8 \times 1,1 = 10780\\ \mathrm{Pa}.
Portanto, usando a fórmula do passo anterior,
p_{\text{man}} = -\rho g h = -10780\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando com três algarismos significativos:
p_{\text{man}} \approx -1,08\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Comentário adicional (útil para a prova): valor da pressão absoluta nos pulmões.
  • Se quiser a pressão absoluta nos pulmões, use p_{\text{pulmões}} = p_{\text{atm}} + p_{\text{man}}õ. Tomando p_{\text{atm}}\approx 1,01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
p_{\text{pulmões}} \approx 1,01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} - 1,078\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} \approx 9,02\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.õ
(Isto não era pedido explicitamente, mas ajuda a entender a física.)

Passo 6

Explicação didática e intuitiva do porquê da resposta em (a) ser negativa (resposta ao item (b)).
  • “Negativa” significa simplesmente: a pressão dentro dos pulmões é menor que a pressão atmosférica. Para sugar a água para cima, é preciso que a pressão acima da superfície da água (no topo da coluna, ou seja, na boca) seja menor do que a pressão na superfície do copo; a diferença \rho g h equilibra o peso da coluna de água.
  • Em palavras simples: a pessoa cria um “vácuo parcial” nos pulmões — não necessariamente vácuo total, apenas uma pressão menor — e essa sucção puxa a água para cima até a coluna de água produzir por sua vez a mesma diferença de pressão pela ação do peso.
  • Limite físico: a altura máxima de uma coluna de água sustentada somente pela pressão atmosférica seria aproximadamente
h_{\max}=\frac{p_{\text{atm}}}{\rho g}\approx\frac{1,01\times10^{5}}{1000\times 9,8}\approx 10,3\\ \mathrm{m}.
Isto explica por que ninguém consegue sorver água a 20 m de altura — a pressão atmosférica simplesmente não é suficiente para suportar uma coluna tão alta. No caso humano, devido a limitações fisiológicas e ao vapor d’água e pequenas fugas, valores práticos são bem menores (daí o valor típico próximo a 1\\ \mathrm{m} que o enunciado dá).

Passo 7

Resumo prático para a prova (receita curta que dá ponto):
  • Escreva a conservação de pressão vertical: p_{\text{pulmões}}=p_{\text{atm}}-\rho g hõ.
  • Subtraia p_{\text{atm}} para obter a pressão manométrica: p_{\text{man}}=-\rho g h.
  • Substitua números e calcule.

Resposta

(a) p_{\text{man}} \approx -1,08\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
(b) Porque a pressão nos pulmões precisa ser menor que a pressão atmosférica para sucção; o valor é negativo indicando exatamente essa pressão abaixo da atmosférica (é a diferença necessária para equilibrar o peso da coluna de água).

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