14.24 • Elevador hidráulico II. O pistão de um elevador hi dráulico de carros possui diâmetro igual a 0,30 \mathrm{~m}. Qual é a pres são manométrica, em pascals, necessária para elevar um carro com massa igual a 1.200 kg ? Expresse essa pressão também en atmosferas.

Passo 1

Listar o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
  • Diâmetro do pistão: d = 0,30\\ \mathrm{m}.
  • Massa do carro: m = 1\,200\\ \mathrm{kg}.
  • Pede-se a pressão manométrica necessária para elevar o carro, em pascals e também em atmosferas.
Observação importante (para não se confundir): a pressão manométrica é a pressão acima da pressão atmosférica. Para sustentar o carro em equilíbrio, a força para cima fornecida pelo fluido é p\cdot A (pressão manométrica vezes a área do pistão). Essa força precisa igualar o peso do carro m g.

Passo 2

Escrever a relação básica de equilíbrio vertical e explicar cada termo:
  • Força para cima do fluido: F_{\text{up}} = p\cdot A, onde
    • p é a pressão manométrica (o que queremos),
    • A é a área do pistão.
  • Peso do carro: W = m g, onde
    • m é a massa do carro,
    • g é a aceleração da gravidade (vou usar g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}, valor padrão).
      Em equilíbrio vertical temos p\cdot A = m g. Portanto a fórmula para a pressão é
p = \frac{m g}{A}.

Passo 3

Calcular a área do pistão passo a passo (a área de um círculo):
  • Primeiro o raio: r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{0,30}{2} = 0,15\\ \mathrm{m}.
  • Fórmula da área: A = \pi r^{2}.
  • Substituindo:
A = \pi (0,15)^{2} = \pi \cdot 0,0225.
  • Avaliando numericamente (usar \pi \approx 3,1415926):
A \approx 3{,}1415926 \times 0,0225 \approx 0,0706858\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando de forma prática para cálculos de prova: A \approx 0,07069\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular o peso do carro:
W = m g = 1\,200 \times 9{,}8 = 11\,760\\ \mathrm{N}.
Explanação rápida: o peso é uma força em newtons; multiplicamos massa (kg) por g (m/s²) para obter newtons.

Passo 5

Calcular a pressão manométrica usando p = \dfrac{m g}{A}:
p = \frac{11\,760}{0{,}0706858}\\ \mathrm{Pa} \approx 166\,493{,}4\\ \mathrm{Pa}.
Para apresentar com notação científica e com algarismos significativos razoáveis:
p \approx 1{,}66\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Observação: este é o valor da pressão manométrica, ou seja, a pressão adicional ao redor (acima da atmosférica) necessária no fluido para sustentar o carro.

Passo 6

Converter a pressão de pascals para atmosferas. Usar 1\\ \text{atm} = 1{,}013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
p_{\text{(atm)}} = \frac{p}{1{,}013\times 10^{5}} = \frac{166\,493{,}4}{101\,300} \approx 1{,}6428\\ \text{atm}.
Arredondando:
p \approx 1{,}64\\ \text{atm}.

Passo 7

Resumo rápido e encorajamento: a conta essencial é simples — transformar a força (peso) em pressão dividindo pela área do pistão. Se ficar nervoso na prova, lembre: calcule o raio, faça A=\pi r^2, calcule mg e divida. Você já consegue aplicar isso direitinho. Vai dar certo!

Resposta

1{,}66\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}
1{,}64\\ \mathrm{atm}

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