14.25 – Explorando Vênus. A pressão na superfície de Vênu: é de 92 atm , e a aceleração devida à gravidade lá é de 0,894 \mathrm{~g} Em uma futura missão de exploração ao planeta, um tanque ci líndrico vertical com benzeno é selado no topo, mas ainda esti pressurizado a 92 atm logo acima do benzeno. O tanque tem un diâmetro de 1,72 \mathrm{~m}, e a coluna de benzeno tem 11,50 \mathrm{~m} de altura Ignore quaisquer efeitos decorrentes da temperatura muito alti em Vênus. (a) Qual é a força total exercida sobre a superfíci interior do fundo do tanque? (b) Que força a atmosfera do planeti exerce sobre a superfície externa do fundo do tanque? (c) Qua é a força total para o interior que a atmosfera exerce sobre a paredes verticais do tanque?

Passo 1

O enunciado pede três quantidades relacionadas à pressão/força num tanque cilíndrico selado sobre a superfície de Vênus. Dados fornecidos (peguei todos esses números do enunciado):
  • Pressão da atmosfera de Vênus: P_{\text{atm}}=92\\ \text{atm}.
  • Aceleração da gravidade em Vênus: g_V = 0{,}894\,g. Vou usar g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}, então g_V=0{,}894\cdot9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O tanque é cilíndrico, diâmetro d=1{,}72\\ \mathrm{m}.
  • Coluna de benzeno com altura h=11{,}50\\ \mathrm{m}.
  • O topo do benzeno está pressurizado a 92\\ \text{atm} (ou seja, a pressão do gás acima do benzeno dentro do tanque é 92\\ \text{atm}).
  • Vou usar a massa específica do benzeno típica à temperatura ambiente: \rho_{\text{ben}}=876\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão).
O que o exercício pede:
(a) força total exercida sobre a superfície interior do fundo do tanque (força do fluido sobre o fundo, isto é, pressão interna no fundo vezes a área);
(b) força que a atmosfera do planeta exerce sobre a superfície externa do fundo do tanque;
(c) força total para o interior que a atmosfera exerce sobre as paredes verticais do tanque (resultante horizontal da pressão externa sobre a superfície lateral).

Passo 2

Cálculo da área do fundo circular. Fórmula e significado:
A=\pi r^2,
onde r é o raio do cilindro e A é a área do fundo.
Calcule:
r=\frac{d}{2}=\frac{1{,}72}{2}=0{,}86\\ \mathrm{m},
A=\pi(0{,}86)^2=\pi\cdot0{,}7396\approx2{,}32307\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Converter a pressão atmosférica para pascal (SI). Fórmula:
1\\ \text{atm}=101\,325\\ \mathrm{Pa}.
Logo
P_{\text{atm}}=92\times101\,325=9\,321\,900\\ \mathrm{Pa}.
Calcular g_V:
g_V=0{,}894\cdot9{,}80=8{,}7612\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Calcular a contribuição hidrostática da coluna de benzeno. Fórmula da pressão hidrostática:
\Delta P=\rho g h,
onde \rho é a densidade do líquido, g a gravidade local e h a altura da coluna.
Substituindo:
\Delta P=\rho_{\text{ben}}\,g_V\,h=876\cdot8{,}7612\cdot11{,}50\\ \mathrm{Pa}\approx88\,260{,}33\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Pressão no fundo, do lado interior do tanque:
P_{\text{fundo,int}}=P_{\text{top}}+\Delta P,
onde P_{\text{top}}=P_{\text{atm}}=9\,321\,900\\ \mathrm{Pa} (dado: topo está pressurizado a 92 atm).
Então
P_{\text{fundo,int}}=9\,321\,900+88\,260{,}33=9\,410\,160{,}33\\ \mathrm{Pa}.
Força total sobre a superfície interior do fundo:
F_{\text{fundo,int}}=P_{\text{fundo,int}}\;A.
Calculando:
F_{\text{fundo,int}}=9\,410\,160{,}33\cdot2{,}32307\\ \mathrm{N}\approx21\,859\,802\\ \mathrm{N}.
Interpretação: essa é a força que o fluido (gás + benzeno) exerce para baixo sobre o fundo do tanque.

Passo 6

Força que a atmosfera do planeta exerce sobre a superfície externa do fundo do tanque.
A pressão externa no fundo é a pressão atmosférica de Vênus P_{\text{atm}}=9\,321\,900\\ \mathrm{Pa}. A força externa sobre o fundo é:
F_{\text{fundo,ext}}=P_{\text{atm}}\;A.
Calculando:
F_{\text{fundo,ext}}=9\,321\,900\cdot2{,}32307\\ \mathrm{N}\approx21\,654\,774\\ \mathrm{N}.
Observação física útil (verificação): a diferença entre F_{\text{fundo,int}} e F_{\text{fundo,ext}} deve ser exatamente o peso da coluna de benzeno:
F_{\text{fundo,int}}-F_{\text{fundo,ext}}=\rho_{\text{ben}}\,g_V\,h\,A\approx205\,028\\ \mathrm{N},
o que confere com os números acima (consistência).

Passo 7

Força total para o interior que a atmosfera exerce sobre as paredes verticais do tanque.
Princípio e fórmula: a resultante horizontal da pressão uniforme externa sobre uma superfície curva (cilíndrica) equivale à pressão multiplicada pela área projetada dessa superfície num plano perpendicular à direção considerada. Para o componente horizontal resultante sobre uma parede cilíndrica vertical, a área projetada é um retângulo de largura igual ao diâmetro d e altura igual a h. Logo:
F_{\text{paredes}}=P_{\text{atm}}\cdot(d\,h).
Explicação curta: o somatório das componentes horizontais das forças distribuídas sobre a parede é igual a P vezes a área da “sombra” vertical do cilindro.
Calcule:
d\,h=1{,}72\cdot11{,}50=19{,}78\\ \mathrm{m^2},
F_{\text{paredes}}=9\,321\,900\cdot19{,}78\\ \mathrm{N}\approx184\,387\,182\\ \mathrm{N}.
Direção: essa força é dirigida para o interior do cilindro (força resultante horizontal para dentro).

Resposta

2{,}18598\times10^{7}\\ \mathrm{N}
2{,}16548\times10^{7}\\ \mathrm{N}
1{,}84387\times10^{8}\\ \mathrm{N}

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