14.25 – Explorando Vênus. A pressão na superfície de Vênu: é de 92 atm , e a aceleração devida à gravidade lá é de
Em uma futura missão de exploração ao planeta, um tanque ci líndrico vertical com benzeno é selado no topo, mas ainda esti pressurizado a 92 atm logo acima do benzeno. O tanque tem un diâmetro de
, e a coluna de benzeno tem
de altura Ignore quaisquer efeitos decorrentes da temperatura muito alti em Vênus. (a) Qual é a força total exercida sobre a superfíci interior do fundo do tanque? (b) Que força a atmosfera do planeti exerce sobre a superfície externa do fundo do tanque? (c) Qua é a força total para o interior que a atmosfera exerce sobre a paredes verticais do tanque?
Passo 1
O enunciado pede três quantidades relacionadas à pressão/força num tanque cilíndrico selado sobre a superfície de Vênus. Dados fornecidos (peguei todos esses números do enunciado):
- Pressão da atmosfera de Vênus:
. - Aceleração da gravidade em Vênus:
. Vou usar , então . - O tanque é cilíndrico, diâmetro
. - Coluna de benzeno com altura
. - O topo do benzeno está pressurizado a
(ou seja, a pressão do gás acima do benzeno dentro do tanque é ). - Vou usar a massa específica do benzeno típica à temperatura ambiente:
(valor padrão).
O que o exercício pede:
(a) força total exercida sobre a superfície interior do fundo do tanque (força do fluido sobre o fundo, isto é, pressão interna no fundo vezes a área);
(b) força que a atmosfera do planeta exerce sobre a superfície externa do fundo do tanque;
(c) força total para o interior que a atmosfera exerce sobre as paredes verticais do tanque (resultante horizontal da pressão externa sobre a superfície lateral).
(a) força total exercida sobre a superfície interior do fundo do tanque (força do fluido sobre o fundo, isto é, pressão interna no fundo vezes a área);
(b) força que a atmosfera do planeta exerce sobre a superfície externa do fundo do tanque;
(c) força total para o interior que a atmosfera exerce sobre as paredes verticais do tanque (resultante horizontal da pressão externa sobre a superfície lateral).
Passo 2
Cálculo da área do fundo circular. Fórmula e significado:
onde
é o raio do cilindro e
é a área do fundo.
Calcule:
Passo 3
Converter a pressão atmosférica para pascal (SI). Fórmula:
Logo
Calcular
:
Passo 4
Calcular a contribuição hidrostática da coluna de benzeno. Fórmula da pressão hidrostática:
onde
é a densidade do líquido,
a gravidade local e
a altura da coluna.
Substituindo:
Passo 5
Pressão no fundo, do lado interior do tanque:
onde
(dado: topo está pressurizado a 92 atm).
Então
Força total sobre a superfície interior do fundo:
Calculando:
Interpretação: essa é a força que o fluido (gás + benzeno) exerce para baixo sobre o fundo do tanque.
Passo 6
Força que a atmosfera do planeta exerce sobre a superfície externa do fundo do tanque.
A pressão externa no fundo é a pressão atmosférica de Vênus
. A força externa sobre o fundo é:
Calculando:
Observação física útil (verificação): a diferença entre
e
deve ser exatamente o peso da coluna de benzeno:
o que confere com os números acima (consistência).
Passo 7
Força total para o interior que a atmosfera exerce sobre as paredes verticais do tanque.
Princípio e fórmula: a resultante horizontal da pressão uniforme externa sobre uma superfície curva (cilíndrica) equivale à pressão multiplicada pela área projetada dessa superfície num plano perpendicular à direção considerada. Para o componente horizontal resultante sobre uma parede cilíndrica vertical, a área projetada é um retângulo de largura igual ao diâmetro
e altura igual a
. Logo:
Explicação curta: o somatório das componentes horizontais das forças distribuídas sobre a parede é igual a
vezes a área da “sombra” vertical do cilindro.
Calcule:
Direção: essa força é dirigida para o interior do cilindro (força resultante horizontal para dentro).