14.40 - Reparo doméstico. Você precisa estender um tubo com diâmetro de 2,50 pol, mas tem apenas um tubo de 1,00 pol de diâmetro disponível. Você usa uma conexāo para unir esses tubos de uma ponta à outra. Se a água estiver escoando a 6,00 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} no tubo mais largo, com que velocidade estará escoando no mais estreito?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do tubo mais largo: D_1 = 2,50\\ \text{pol}.
  • Diâmetro do tubo mais estreito: D_2 = 1,00\\ \text{pol}.
  • Velocidade da água no tubo mais largo: v_1 = 6,00\\ \mathrm{cm/s}.
O que é pedido:
  • Encontrar a velocidade da água no tubo mais estreito, ou seja, v_2.

Passo 2

Organizar unidades e valores numéricos de forma consistente. Como a velocidade está em \mathrm{cm/s} é conveniente converter os diâmetros de polegadas para centímetros. A conversão conhecida é:
1\\ \text{pol} = 2,54\\ \text{cm}.
Portanto:
D_1 = 2,50\times 2,54 = 6,35\\ \text{cm}, \qquad D_2 = 1,00\times 2,54 = 2,54\\ \text{cm}.

Passo 3

Explicar o princípio físico que usamos (passo didático). Para um fluido incompressível em escoamento estacionário, a massa que entra por uma secção por unidade de tempo deve ser igual à massa que sai por outra secção por unidade de tempo — conservação de massa. A taxa de massa é dada por \dot m = \rho A v, onde:
  • \dot m é a taxa de massa (kg/s),
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m^3),
  • A é a área da seção transversal (m^2),
  • v é a velocidade média do fluido nessa seção (m/s).
Se \rho é constante (água praticamente incompressível) e o escoamento é estacionário, então entre duas seções vale:
\rho A_1 v_1 = \rho A_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad A_1 v_1 = A_2 v_2.
Essa é a equação da continuidade que vamos usar. Aqui:
  • A_1 é a área do tubo largo,
  • A_2 é a área do tubo estreito,
  • v_1 e v_2 são as velocidades respectivas.

Passo 4

Relacionar área com diâmetro. A área da seção de um tubo circular é
A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}.
Logo, a razão das áreas é
\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi D_1^2/4}{\pi D_2^2/4} = \frac{D_1^2}{D_2^2}.
A equação da continuidade A_1 v_1 = A_2 v_2 pode ser escrita como
v_2 = v_1\frac{A_1}{A_2} = v_1\frac{D_1^2}{D_2^2}.
Observação importante (útil na prova): o fator \pi/4 cancela, então não é preciso calcular áreas com \pi explicitamente — basta trabalhar com os diâmetros ao quadrado.

Passo 5

Calcular o fator de amplificação da velocidade e então v_2. Usando os diâmetros em centímetros obtidos no Passo 2:
\frac{D_1}{D_2}=\frac{6,35}{2,54}=2{,}50.
Portanto
\frac{D_1^2}{D_2^2}=(2{,}50)^2=6{,}25.
Usando a fórmula da continuidade:
v_2 = v_1\frac{D_1^2}{D_2^2} = 6{,}00\\ \mathrm{cm/s}\times 6{,}25 = 37{,}5\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 6

Verificação rápida e interpretação física: a velocidade aumentou porque a área diminuiu. O fator 6{,}25 faz sentido pois a área do tubo estreito é menor em razão do quadrado dos diâmetros. Conversão opcional para metros por segundo:
37{,}5\\ \mathrm{cm/s} = 0{,}375\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

37{,}5\\ \mathrm{cm/s}

Exercícios relacionados