14.36 ** A água corre para dentro de uma fonte, enchendo todos os tubos, a uma taxa constante de 0,750 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. (a) Com que velocidade a água jorraria de um buraco de 4,50 \mathrm{~cm} de diâmetro? (b) Com que velocidade ela jorraria se o diâmetro do buraco fosse três yezes maior?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de enchimento (vazão volumétrica) e pede a velocidade de saída da água por dois buracos. Informações e perguntas claras:
  • Dados fornecidos:
    • Vazão volumétrica: Q = 0,750\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    • Diâmetro do buraco (a): d_1 = 4,50\\ \mathrm{cm}.
    • Diâmetro do buraco (b): diâmetro três vezes maior que o anterior, ou seja d_2 = 3d_1.
  • Perguntas:
    • (a) Qual a velocidade da água saindo pelo buraco de diâmetro d_1?
    • (b) Qual a velocidade se o diâmetro for d_2 = 3d_1?

Passo 2

Conceito essencial e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Vazão volumétrica Q é o volume de fluido que passa por uma seção por unidade de tempo.
  • Para um escoamento uniforme através de uma abertura de área transversal A, a relação entre vazão e velocidade média é
Q = A\,v,
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}),
  • A é a área da abertura ( \mathrm{m}^2),
  • v é a velocidade média do fluido na abertura ( \mathrm{m}/\mathrm{s}).
  • Assim, a velocidade é obtida isolando v:
v = \frac{Q}{A}.
  • Para um buraco circular de diâmetro d, a área é
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Resumo: calculamos A a partir de d e depois v = Q/A.

Passo 3

Passo a passo para o caso (a) — converter unidades e calcular a área do buraco:
  • Converta o diâmetro de centímetros para metros:
d_1 = 4,50\\ \mathrm{cm} = 0,0450\\ \mathrm{m}.
  • Calcule a área da seção circular:
A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (0,0450)^2}{4}.
Façamos as contas passo a passo:
d_1^2 = (0,0450)^2 = 0,002025,
\frac{d_1^2}{4} = \frac{0,002025}{4} = 0,00050625,
A_1 = \pi \times 0,00050625 \approx 3{,}14159265\times 0,00050625 \approx 0,00159043\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular a velocidade para o buraco de d_1 usando v = Q/A:
  • Substituindo os valores:
v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0,750}{0,00159043}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Efetuando a divisão (mostrando raciocínio):
\frac{1}{A_1} \approx \frac{1}{0,00159043} \approx 628{,}31853,
v_1 \approx 0,750\times 628{,}31853 \approx 471{,}2389\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Arredondando para um número compatível com os dados (3 algarismos significativos, já que d_1 tem 3 algarismos significativos):
v_1 \approx 471\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Caso (b): diâmetro três vezes maior — relação de escala e cálculo:
  • Se d_2 = 3d_1, a área escala com o quadrado do diâmetro:
A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (3d_1)^2}{4} = 9\left(\frac{\pi d_1^2}{4}\right)=9A_1.
  • Como Q = A v e Q é constante, a velocidade escala inversamente com a área:
v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{Q}{9A_1} = \frac{v_1}{9}.
  • Usando o valor calculado para v_1:
v_2 \approx \frac{471{,}2389}{9} \approx 52{,}3599\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Arredondando para 3 algarismos significativos:
v_2 \approx 52{,}4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 6

Breve checagem de unidades e comentário prático (rápido e encorajador):
  • As unidades conferem: Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e A em \mathrm{m}^2 dão v em \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Resultado numérico: a primeira velocidade é muito alta — isso vem do fato de uma vazão grande passando por uma abertura muito pequena; é normal numericamente.

Resposta

471\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
52{,}4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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