14.36 ** A água corre para dentro de uma fonte, enchendo todos os tubos, a uma taxa constante de
. (a) Com que velocidade a água jorraria de um buraco de
de diâmetro? (b) Com que velocidade ela jorraria se o diâmetro do buraco fosse três yezes maior?
Passo 1
O enunciado dá a taxa de enchimento (vazão volumétrica) e pede a velocidade de saída da água por dois buracos. Informações e perguntas claras:
- Dados fornecidos:
- Vazão volumétrica:
. - Diâmetro do buraco (a):
. - Diâmetro do buraco (b): diâmetro três vezes maior que o anterior, ou seja
.
- Vazão volumétrica:
- Perguntas:
- (a) Qual a velocidade da água saindo pelo buraco de diâmetro
? - (b) Qual a velocidade se o diâmetro for
?
- (a) Qual a velocidade da água saindo pelo buraco de diâmetro
Passo 2
Conceito essencial e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Vazão volumétrica
é o volume de fluido que passa por uma seção por unidade de tempo. - Para um escoamento uniforme através de uma abertura de área transversal
, a relação entre vazão e velocidade média é
onde:
-
é a vazão ( ), -
é a área da abertura ( ), -
é a velocidade média do fluido na abertura ( ). - Assim, a velocidade é obtida isolando
:
- Para um buraco circular de diâmetro
, a área é
Resumo: calculamos
a partir de
e depois
.
Passo 3
Passo a passo para o caso (a) — converter unidades e calcular a área do buraco:
- Converta o diâmetro de centímetros para metros:
- Calcule a área da seção circular:
Façamos as contas passo a passo:
Passo 4
Calcular a velocidade para o buraco de
usando
:
- Substituindo os valores:
- Efetuando a divisão (mostrando raciocínio):
- Arredondando para um número compatível com os dados (3 algarismos significativos, já que
tem 3 algarismos significativos):
Passo 5
Caso (b): diâmetro três vezes maior — relação de escala e cálculo:
- Se
, a área escala com o quadrado do diâmetro:
- Como
e é constante, a velocidade escala inversamente com a área:
- Usando o valor calculado para
:
- Arredondando para 3 algarismos significativos:
Passo 6
Breve checagem de unidades e comentário prático (rápido e encorajador):
- As unidades conferem:
em e em dão em . - Resultado numérico: a primeira velocidade é muito alta — isso vem do fato de uma vazão grande passando por uma abertura muito pequena; é normal numericamente.