14.42 ** Bio Entupimento da artéria. Uma cardiologista está tentando determinar qual porcentagem da artéria de um paciente está bloqueada por uma placa. Para fazer isso, ela mede a pressão sanguínea imediatamente antes da regiāo entupida e descobre que é 1,20 \times 10^{4} \mathrm{~Pa}, enquanto na regiāo entupida é 1,15 \times 10^{4} \mathrm{~Pa}. Além disso, ela sabe que o sangue que flui pela artéria normal imediatamente antes do ponto entupido está correndo a 30,0 \mathrm{cm} / \mathrm{s}, e a densidade relativa do sangue do paciente é 1,06 . Que porcentagem da seçāo reta da artéria do paciente está entupida pela placa?

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Pressão antes da região entupida: P_1 = 1,20\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão na região entupida: P_2 = 1,15\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • Velocidade do sangue na artéria normal (antes do entupimento): v_1 = 30{,}0\\ \mathrm{cm/s}.
  • Densidade relativa do sangue: 1{,}06 (ou seja, 1,06 vezes a densidade da água).
  • O que é pedido: a porcentagem da seção reta da artéria que está bloqueada pela placa (ou seja, quantos por cento da área original foram perdidos).

Passo 2

Ideia física e hipóteses (explicando as fórmulas que vamos usar):
  • Vamos tratar o sangue como um fluido incompressível e usar a equação de Bernoulli entre um ponto antes do bloqueio e o ponto dentro do estrangulamento, desprezando variação de altura e perdas por atrito. Bernoulli (na forma que usaremos) diz:
P_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^{2}=P_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^{2},
onde:
  • P_1,P_2 são pressões nos pontos 1 e 2 (Pa),
  • \rho é a densidade do sangue ( \mathrm{kg/m^3}),
  • v_1,v_2 são as velocidades nos pontos 1 e 2 ( \mathrm{m/s}).
  • Além disso, conservação de massa (continuidade) para área e velocidade (fluxo volumétrico constante) diz:
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A_1 é a área normal e A_2 a área aberta na região entupida. Assim
\frac{A_2}{A_1}=\frac{v_1}{v_2}.
  • A porcentagem bloqueada é
\%\,\text{bloqueada}= \biggl(1-\frac{A_2}{A_1}\biggr)\times100\%.
Explicação simples: quando a área diminui, a velocidade aumenta para manter o mesmo fluxo; Bernoulli relaciona essa mudança de velocidade com a queda de pressão medida.

Passo 3

Converter unidades e calcular a densidade numérica:
  • Converter v_1 para \mathrm{m/s}:
v_1 = 30{,}0\\ \mathrm{cm/s} = 0{,}30\\ \mathrm{m/s}.
  • Densidade da água é 1000\\ \mathrm{kg/m^3}. Como a densidade relativa do sangue é 1{,}06,
\rho = 1{,}06\times1000 = 1060\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 4

Isolar v_2 a partir da equação de Bernoulli:
  • Subtrair P_2 e reorganizar:
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_2^{2}-v_1^{2}\bigr)=P_1-P_2.
  • Logo
v_2^{2}=v_1^{2}+\frac{2(P_1-P_2)}{\rho}.
Isto é só álgebra direta: somar v_1^2 ao termo que representa a diferença de energia por unidade de massa associada à diferença de pressão.

Passo 5

Calcular numericamente v_2:
  • Primeiro a diferença de pressão:
P_1-P_2 = 1{,}20\times10^{4}-1{,}15\times10^{4}=500\\ \mathrm{Pa}.
  • Substituindo na fórmula:
v_2^{2}= (0{,}30)^{2} + \frac{2\cdot500}{1060}.
Calcular passo a passo:
(0{,}30)^{2}=0{,}09, \qquad \frac{2\cdot500}{1060}=\frac{1000}{1060}\approx0{,}943396.
v_2^{2}\approx 0{,}09 + 0{,}943396 = 1{,}033396.
v_2 \approx \sqrt{1{,}033396}\approx 1{,}0166\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a fração de área aberta e a porcentagem bloqueada:
  • Pela continuidade,
\frac{A_2}{A_1}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{0{,}30}{1{,}0166}\approx 0{,}2951.
  • Portanto a fração bloqueada é 1-\dfrac{A_2}{A_1}\approx 1-0{,}2951=0{,}7049.
  • Em porcentagem:
\%\,\text{bloqueada}\approx 0{,}7049\times100\%=70{,}49\%\approx70{,}5\%.

Resposta

70{,}5\%

Exercícios relacionados