14.42 ** Bio Entupimento da artéria. Uma cardiologista está tentando determinar qual porcentagem da artéria de um paciente está bloqueada por uma placa. Para fazer isso, ela mede a pressão sanguínea imediatamente antes da regiāo entupida e descobre que é
, enquanto na regiāo entupida é
. Além disso, ela sabe que o sangue que flui pela artéria normal imediatamente antes do ponto entupido está correndo a 30,0
, e a densidade relativa do sangue do paciente é 1,06 . Que porcentagem da seçāo reta da artéria do paciente está entupida pela placa?
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Pressão antes da região entupida:
. - Pressão na região entupida:
. - Velocidade do sangue na artéria normal (antes do entupimento):
. - Densidade relativa do sangue:
(ou seja, 1,06 vezes a densidade da água). - O que é pedido: a porcentagem da seção reta da artéria que está bloqueada pela placa (ou seja, quantos por cento da área original foram perdidos).
Passo 2
Ideia física e hipóteses (explicando as fórmulas que vamos usar):
- Vamos tratar o sangue como um fluido incompressível e usar a equação de Bernoulli entre um ponto antes do bloqueio e o ponto dentro do estrangulamento, desprezando variação de altura e perdas por atrito. Bernoulli (na forma que usaremos) diz:
onde:
-
são pressões nos pontos 1 e 2 (Pa), -
é a densidade do sangue ( ), -
são as velocidades nos pontos 1 e 2 ( ). - Além disso, conservação de massa (continuidade) para área e velocidade (fluxo volumétrico constante) diz:
onde
é a área normal e
a área aberta na região entupida. Assim
- A porcentagem bloqueada é
Explicação simples: quando a área diminui, a velocidade aumenta para manter o mesmo fluxo; Bernoulli relaciona essa mudança de velocidade com a queda de pressão medida.
Passo 3
Converter unidades e calcular a densidade numérica:
- Converter
para :
- Densidade da água é
. Como a densidade relativa do sangue é ,
Passo 4
Isolar
a partir da equação de Bernoulli:
- Subtrair
e reorganizar:
- Logo
Isto é só álgebra direta: somar
ao termo que representa a diferença de energia por unidade de massa associada à diferença de pressão.
Passo 5
Calcular numericamente
:
- Primeiro a diferença de pressão:
- Substituindo na fórmula:
Calcular passo a passo:
Passo 6
Calcular a fração de área aberta e a porcentagem bloqueada:
- Pela continuidade,
- Portanto a fração bloqueada é
. - Em porcentagem: