14.48 Duas reações de primeira ordem têm a mesma constante de velocidade a 30^{\circ} \mathrm{C}. A reação A tem uma energia de ativação de 45,5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}; a reação B tem uma energia de ativação de 25,2 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}. Calcule a razão das constantes de velocidade, k_{A} / k_{B}, a 60^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado diz que duas reações de primeira ordem A e B têm a mesma constante de velocidade a 30^\circ\mathrm{C} (ou seja, k_A(T_1)=k_B(T_1) em T_1=303\\ \mathrm K), mas energias de ativação diferentes: E_{a,A}=45{,}5\\ \mathrm{kJ/mol} e E_{a,B}=25{,}2\\ \mathrm{kJ/mol}. Pede-se a razão \,k_A/k_B em 60^\circ\mathrm{C} (isto é, T_2=333\\ \mathrm K). Vamos usar a equação de Arrhenius
k = A \exp\Bigl(-\frac{E_a}{R\,T}\Bigr)
e aproveitar que k_A(T_1)=k_B(T_1) para relacionar os pré-fatores.

Passo 2

Escrevendo Arrhenius em T_1 para A e B e igualando:
A_A \exp\Bigl(-\frac{E_{a,A}}{R\,T_1}\Bigr) \;=\; A_B \exp\Bigl(-\frac{E_{a,B}}{R\,T_1}\Bigr).
Dessa igualdade segue
\frac{A_A}{A_B} =\exp\Bigl(\frac{E_{a,A}-E_{a,B}}{R\,T_1}\Bigr).

Passo 3

Em T_2 a razão das constantes é
\frac{k_A}{k_B} =\frac{A_A}{A_B} \exp\Bigl(-\frac{E_{a,A}}{R\,T_2}+\frac{E_{a,B}}{R\,T_2}\Bigr) =\exp\!\Bigl(\frac{E_{a,A}-E_{a,B}}{R}\Bigl(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Bigr)\Bigr).

Passo 4

Calculemos \Delta E = E_{a,A}-E_{a,B} = (45{,}5-25{,}2)\,\mathrm{kJ/mol}=20{,}3\times10^3\\ \mathrm J/mol.
\text{expoente} =\frac{20{,}3\times10^3}{8\,314}\Bigl(\frac{1}{303}-\frac{1}{333}\Bigr) \approx0,726.

Passo 5

Logo
\frac{k_A}{k_B} =\exp(0,726)\approx2,07.

Resposta

k_A/k_B\approx2,07

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