Para ter uma idéia de quanto se perde de energia num automóvel, considere um carro de 5.000 lb trafegando a 35 \mathrm{mi} / \mathrm{h}. Se o carro é levado ao repouso, determine quanto tempo uma lâmpada de 100 W deve permanecer acesa para despender a mesma energia ( 1 \mathrm{mi}=5.280 pés).

Passo 1

O enunciado pede para determinar quanto tempo uma lâmpada de 100\\ \mathrm{W} deve permanecer acesa para liberar a mesma energia que se perde ao levar um carro de 5\,000\\ \mathrm{lb} que trafega a 35\\ \mathrm{mi}/\mathrm{h} ao repouso.
Dados fornecidos e úteis:
\text{peso do carro} = 5\,000\\ \mathrm{lb},
\text{velocidade inicial} = 35\\ \mathrm{mi}/\mathrm{h},
\text{potência da lâmpada} = 100\\ \mathrm{W},êâ
1\\ \mathrm{mi} = 5\,280\\ \mathrm{ft}.
Vou usar unidades imperiais para calcular a energia do carro (em \mathrm{ft\cdot lbf}) e depois converter para joules para comparar com a potência em watts ( 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}).

Passo 2

Entendendo a física e as fórmulas envolvidas (aulas rápidas e claras).
  • Energia cinética de um corpo em movimento é dada por
\text{KE}=\frac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa (na unidade adequada) e v é a velocidade. Expliquei: a energia cinética é a “energia do movimento” — quanto mais rápido e/ou mais massivo, maior a energia.
  • No sistema imperial usado aqui o enunciado dá o peso (força) do carro em libras-força ( \mathrm{lb}), não a massa. A relação entre peso W e massa m é
W = m g,
ou seja
m=\frac{W}{g},
onde g é a aceleração da gravidade em unidades compatíveis. Vou usar a aproximação clássica em pés por segundo quadrado:
g \approx 32\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
Assim, para usar a fórmula da energia cinética com velocidade em \mathrm{ft/s} e massa em slugs, fazemos m=\dfrac{W}{g}. (Uma slug é a unidade de massa do sistema inglês; 1\\ \text{slug}=\dfrac{1\\ \mathrm{lb}}{1\\ \mathrm{ft/s^2}}.)

Passo 3

Calcular a massa do carro em slugs a partir do peso:
m=\frac{W}{g}=\frac{5\,000\\ \mathrm{lb}}{32\\ \mathrm{ft/s^{2}}}=156{,}25\\ \text{slugs}.
Expliquei: dividi a força peso pela aceleração da gravidade para obter a massa apropriada para usar em \mathrm{ft/s}.

Passo 4

Converter a velocidade de \mathrm{mi/h} para \mathrm{ft/s}.
v = 35\\ \frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}}\cdot\frac{5\,280\\ \mathrm{ft}}{1\\ \mathrm{mi}}\cdot\frac{1\\ \mathrm{h}}{3\,600\\ \mathrm{s}}
v = 35\cdot\frac{5\,280}{3\,600}\\ \mathrm{ft/s}=35\cdot\frac{44}{30}\\ \mathrm{ft/s}=\frac{154}{3}\\ \mathrm{ft/s}\approx51{,}333\\ \mathrm{ft/s}.
Expliquei: multipliquei por 5\,280 para trocar milhas por pés e dividi por 3600 para trocar horas por segundos.

Passo 5

Calcular a energia cinética do carro (em \mathrm{ft\cdot lbf}). Usando \text{KE}=\dfrac{1}{2} m v^{2}:
\text{KE}=\frac{1}{2}\cdot156{,}25\cdot\left(\frac{154}{3}\right)^{2}.
Faço as contas passo a passo:
\left(\frac{154}{3}\right)^{2}=\frac{23\,716}{9},
\text{KE}=\frac{1}{2}\cdot156{,}25\cdot\frac{23\,716}{9}=\frac{5\,000\cdot23\,716}{576}.
Calculando numericamente:
\text{KE}\approx205\,902{,}7778\\ \mathrm{ft\cdot lbf}.
Expliquei: mantive frações para organizar e depois calculei o valor numérico aproximado.

Passo 6

Converter a energia de \mathrm{ft\cdot lbf} para joules, porque potência da lâmpada está em watts ( \mathrm{W}=\mathrm{J/s}). A constante de conversão é
1\\ \mathrm{ft\cdot lbf}\approx1{,}355817948\\ \mathrm{J}.
Logo
\text{KE}_{\mathrm{J}}=\text{KE}_{\mathrm{ft\cdot lbf}}\times1{,}355817948
\text{KE}_{\mathrm{J}}\approx205\,902{,}7778\times1{,}355817948\approx279\,166{,}7\\ \mathrm{J}.
Expliquei: multipliquei a energia obtida em pés-libras pelo fator que transforma para joules.

Passo 7

Calcular o tempo que uma lâmpada de 100\\ \mathrm{W} (ou seja, 100\\ \mathrm{J/s}) deve ficar acesa para liberar essa energia. Se uma potência P está ligada por tempo t, a energia liberada é E=P t. Portanto
t=\frac{E}{P}=\frac{279\,166{,}7\\ \mathrm{J}}{100\\ \mathrm{J/s}}\approx2\,791{,}67\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos:
t\approx\frac{2\,791{,}67}{60}\\ \mathrm{min}\approx46{,}53\\ \mathrm{min}.
E em horas:
t\approx\frac{2\,791{,}67}{3\,600}\\ \mathrm{h}\approx0{,}7755\\ \mathrm{h}.
Expliquei: dividimos a energia pelo fluxo de energia por segundo (potência) para obter o tempo.

Resposta

t\approx2\,792\\ \mathrm{s} (aprox.)
t\approx46{,}5\\ \mathrm{min} (aprox.)

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