14.50 - Uma diferença de pressīo de 6,00 \times 10^{4} \mathrm{~Pa} é necessária para manter uma vazāo volumétrica de 0,800 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} para um fluido viscoso escoando por uma seção de tubo cilíndrico com raio de 0,210 \mathrm{~m}. Que diferença de pressão é necessária para manter a mesma vario volumétrica se o raio do tubo for diminuído para 0,0700 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados:
  • Diferença de pressão inicial \Delta P_1 = 6,00\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • Vazão volumétrica mantida \;Q=0,800\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Raio inicial do tubo \;R_1=0,210\\ \mathrm{m}.
  • Novo raio do tubo \;R_2=0,0700\\ \mathrm{m}.
O que se pede:
  • Determinar a nova diferença de pressão \Delta P_2 necessária para manter a mesma vazão \;Q quando o raio passa de \;R_1 para \;R_2.
Observação (aceita como parte do enunciado implícito): o fluido é o mesmo e o comprimento efetivo do trecho do tubo e a viscosidade do fluido permanecem os mesmos nas duas situações.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado de forma simples).
  • Para escoamento laminar e viscoso em um tubo cilíndrico longo, vale a lei de Poiseuille que relaciona vazão, diferença de pressão e geometria do tubo. A fórmula é:
Q = \frac{\pi R^{4}}{8\eta L}\,\Delta P,
onde:
  • Q é a vazão volumétrica (em \mathrm{m^{3}/s});
  • R é o raio do tubo (em \mathrm{m});
  • \eta é a viscosidade dinâmica do fluido (em \mathrm{Pa\cdot s});
  • L é o comprimento do trecho considerado do tubo (em \mathrm{m});
  • \Delta P é a diferença de pressão entre as extremidades (em \mathrm{Pa}).
Breve intuição: a vazão cresce muito rápido com o raio porque aparece o fator R^{4} — pequenas mudanças no raio provocam grandes mudanças na vazão ou, se se quer a mesma vazão, grandes mudanças na pressão.

Passo 3

Isolando \Delta P da lei de Poiseuille para ver a dependência com R:
\Delta P = \frac{8\eta L}{\pi R^{4}}\,Q.
Aqui \eta, L e Q são considerados fixos entre as duas situações, portanto a única coisa que muda é R. Logo, \Delta P é proporcional a 1/R^{4}.

Passo 4

Comparando as duas situações (índices 1 e 2) e cancelando as constantes comuns ( 8\eta L/\pi e Q), obtemos:
\frac{\Delta P_2}{\Delta P_1}=\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^{4}.
Isso é prático: não precisamos conhecer \eta nem L.

Passo 5

Calcular a razão dos raios com os valores dados (mostrando a conta):
\frac{R_1}{R_2}=\frac{0,210}{0,0700}=3{,}00.

Passo 6

Elevar essa razão à quarta potência:
\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^{4}=3^{4}=81.

Passo 7

Agora calcular \Delta P_2 usando a relação de passo 4:
\Delta P_2 = \Delta P_1 \times 81.
Substituindo \Delta P_1 = 6,00\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}:
\Delta P_2 = 6,00\times10^{4}\times81 = 4,86\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
(Conta curta: 6{,}00\times81=486{,}0, então com o fator 10^{4} fica 4{,}86\times10^{6}.)

Passo 8

Interpretação prática rápida e dica para a prova:
  • Reduzir o raio para um terço faz a pressão necessária crescer por um fator 3^{4}=81. Em exames, é comum usar essa propriedade R^{4} para obter respostas rápidas sem precisar de \eta ou L.
  • Regra de bolso: se o raio for dividido por 2, a pressão necessária aumenta por 2^{4}=16; por 3, aumenta por 81, etc. Isso ajuda a checar escala de resultados.

Resposta

\Delta P_2 = 4,86\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}

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