14.50 - Uma diferença de pressīo de
é necessária para manter uma vazāo volumétrica de
para um fluido viscoso escoando por uma seção de tubo cilíndrico com raio de
. Que diferença de pressão é necessária para manter a mesma vario volumétrica se o raio do tubo for diminuído para
?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados:
- Diferença de pressão inicial
. - Vazão volumétrica mantida
. - Raio inicial do tubo
. - Novo raio do tubo
.
O que se pede:
- Determinar a nova diferença de pressão
necessária para manter a mesma vazão quando o raio passa de para .
Observação (aceita como parte do enunciado implícito): o fluido é o mesmo e o comprimento efetivo do trecho do tubo e a viscosidade do fluido permanecem os mesmos nas duas situações.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado de forma simples).
- Para escoamento laminar e viscoso em um tubo cilíndrico longo, vale a lei de Poiseuille que relaciona vazão, diferença de pressão e geometria do tubo. A fórmula é:
onde:
-
é a vazão volumétrica (em ); -
é o raio do tubo (em ); -
é a viscosidade dinâmica do fluido (em ); -
é o comprimento do trecho considerado do tubo (em ); -
é a diferença de pressão entre as extremidades (em ).
Breve intuição: a vazão cresce muito rápido com o raio porque aparece o fator
— pequenas mudanças no raio provocam grandes mudanças na vazão ou, se se quer a mesma vazão, grandes mudanças na pressão.
Passo 3
Isolando
da lei de Poiseuille para ver a dependência com
:
Aqui
,
e
são considerados fixos entre as duas situações, portanto a única coisa que muda é
. Logo,
é proporcional a
.
Passo 4
Comparando as duas situações (índices 1 e 2) e cancelando as constantes comuns (
e
), obtemos:
Isso é prático: não precisamos conhecer
nem
.
Passo 5
Calcular a razão dos raios com os valores dados (mostrando a conta):
Passo 6
Elevar essa razão à quarta potência:
Passo 7
Agora calcular
usando a relação de passo 4:
Substituindo
:
(Conta curta:
, então com o fator
fica
.)
Passo 8
Interpretação prática rápida e dica para a prova:
- Reduzir o raio para um terço faz a pressão necessária crescer por um fator
. Em exames, é comum usar essa propriedade para obter respostas rápidas sem precisar de ou . - Regra de bolso: se o raio for dividido por 2, a pressão necessária aumenta por
; por 3, aumenta por , etc. Isso ajuda a checar escala de resultados.