Exercício 12.
Determine os deslocamentos vertical e horizontal do método dos deslocamentos. A área da seção transversal é de 400 \mathrm{cm}^{2} para todas as barras. e a temperatura aumentar em \Delta T=80^{\circ} \mathrm{C}. Considere para o aço E_{1}=200 \mathrm{GPa}, \alpha_{1}=12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} e diâmetro da barra d_{1}=40 \mathrm{~mm}, e para o alumínio E_{2}=73,10 \mathrm{GPa}, \alpha_{2}=23 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} e d_{2}=60 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado (o que temos) nos dá:
  • Área da seção transversal para todas as barras: A=400\\ \mathrm{cm}^2. Vou converter para milímetros quadrados porque trabalharemos com E em GPa/N·mm ^{-2}: A=400\cdot100=40{,}000\\ \mathrm{mm}^2.
  • Aumento de temperatura: \Delta T=80^\circ\mathrm{C}.
  • Para o aço (material 1): E_1=200\\ \mathrm{GPa}, \alpha_1=12\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}, diâmetro d_1=40\\ \mathrm{mm}.
  • Para o alumínio (material 2): E_2=73{,}10\\ \mathrm{GPa}, \alpha_2=23\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}, diâmetro d_2=60\\ \mathrm{mm}.
O enunciado pede: “Determine os deslocamentos vertical e horizontal do método dos deslocamentos.” Ou seja, o objetivo é calcular os deslocamentos (componentes horizontal e vertical) resultantes do aquecimento.
Observação importante e impedimento para cálculo numérico imediato:
  • Não foi fornecida a figura/arranjo geométrico (posições das barras, inclinações/ângulos \theta_i, comprimentos L_i de cada barra, conexões/placa rígida ou nós, condições de contorno — nós engastados ou livres etc.). Esses dados geométricos e de conectividade são essenciais para montar as equações de compatibilidade e equilíbrio e, portanto, para obter os deslocamentos numéricos.
  • Há uma aparente inconsistência: o enunciado dá área A=400\\ \mathrm{cm}^2 “para todas as barras” e também dá diâmetros d_1 e d_2. A área circular calculada a partir dos diâmetros é diferente de 40{,}000\\ \mathrm{mm}^2; portanto vou seguir o enunciado literal e usar A=400\\ \mathrm{cm}^2=40{,}000\\ \mathrm{mm}^2 como indicado.
Dado que a figura/valores geométricos não foram enviados, não é possível calcular numericamente os deslocamentos finais. Nos passos seguintes eu:
  • ensino passo a passo o método dos deslocamentos (compatibilidade + rigidez + forças térmicas) que você deve aplicar,
  • calculo as forças térmicas internas (que podem ser úteis),
  • mostro a formulação geral matricial que permite obter os deslocamentos assim que a geometria (ângulos e comprimentos) e a conectividade forem conhecidos.

Passo 2

Primeiro: cálculo das forças térmicas “de aperto” (força que surgiria se a barra fosse totalmente impedida de se alongar). Isso é independente do comprimento e útil para montar as forças equivalentes.
Princípio físico rápido (aula curta): se uma barra está aquecida livremente, sua deformação térmica livre é \varepsilon_{\text{th}}=\alpha\,\Delta T. Se essa deformação é impedida, a barra gera uma tensão térmica \sigma = E\,\varepsilon_{\text{th}}=E\alpha\Delta T. A força axial equivalente é N = \sigma A = E A \alpha \Delta T. Esse N é a força axial que a barra tenderia a desenvolver quando completamente impedida.
Conversões das unidades de E:
1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{N/mm}^2.
Logo
E_1 = 200\\ \mathrm{GPa}=200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2,\quad E_2 = 73{,}10\\ \mathrm{GPa}=73{,}100\\ \mathrm{N/mm}^2.
Cálculo de N_1 (aço, material 1):
N_1 = E_1 A \alpha_1 \Delta T.
Substituindo números (com A=40{,}000\\ \mathrm{mm}^2, \alpha_1=12\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}, \Delta T=80^\circ\mathrm{C}):
N_1 = 200{,}000\cdot40{,}000\cdot(12\times10^{-6})\cdot80 =7{,}680{,}000\\ \mathrm{N}=7{,}68\\ \mathrm{MN}.
Cálculo de N_2 (alumínio, material 2):
N_2 = E_2 A \alpha_2 \Delta T =73{,}100\cdot40{,}000\cdot(23\times10^{-6})\cdot80.
Fazendo as contas:
N_2 \approx 5{,}380{,}160\\ \mathrm{N}=5{,}38\\ \mathrm{MN}.
Interpretação rápida: se uma barra de aço e uma barra de alumínio, ambas com a área dada, fossem totalmente impedidas de alongar, a barra de aço geraria aproximadamente 7{,}68\\ \mathrm{MN} de força axial e a de alumínio 5{,}38\\ \mathrm{MN}. Esses valores serão usados como termos de “força térmica” na formulação do método dos deslocamentos.

Passo 3

Agora a formulação geral do método dos deslocamentos para um conjunto de barras que sustentam uma placa rígida (ou um nó) — explicação didática e passo a passo.
  1. Modelo de cada barra (elemento axial):
  • Comprimento: L_i (desconhecido no enunciado; necessário).
  • Área: A_i (aqui =40{,}000\\ \mathrm{mm}^2 se todas iguais).
  • Módulo de elasticidade: E_i (dado).
  • Rigidez axial do elemento:
k_i=\frac{E_i A_i}{L_i}.
Unidade: \mathrm{N/mm}. Observação: k_i depende de L_i.
  1. Direção do elemento:
  • Para cada barra define-se o vetor unitário na direção do elemento (do nó/placa para o apoio): \mathbf{n}_i=(\cos\theta_i,\\ \sin\theta_i)^T, onde \theta_i é o ângulo medido a partir do eixo x (horizontal).
  • Se o conjunto tem apenas translação da placa (sem rotação), o deslocamento da placa é \mathbf{u}=(u_x,u_y)^T.
  1. Deformação axial do elemento causada pelo deslocamento da placa e pela expansão térmica:
  • A deformação axial total (extensão positiva) do elemento é
\delta_i = \mathbf{n}_i^T \mathbf{u} - \alpha_i\Delta T\,L_i.
Explicação: \mathbf{n}_i^T\mathbf{u} é a projeção do deslocamento da placa na direção do elemento (a extensão induzida geometricamente). Subtrai-se a expansão livre \alpha_i\Delta T L_i porque essa expansão não gera força se for livre; apenas a parte que fica impedida gera força.
  1. Força axial no elemento (linear elástico):
F_i = k_i \,\delta_i = \frac{E_i A_i}{L_i}\Big(\mathbf{n}_i^T \mathbf{u} - \alpha_i\Delta T L_i\Big).
  1. Equilíbrio do nó/placa (soma das forças vetoriais = 0 se não há forças externas horizontais/verticais):
\sum_i \mathbf{n}_i F_i = \mathbf{0}.
Substituindo F_i:
\sum_i \mathbf{n}_i \frac{E_i A_i}{L_i}\Big(\mathbf{n}_i^T \mathbf{u} - \alpha_i\Delta T L_i\Big)=\mathbf{0}.
  1. Forma matricial (sistema linear do método dos deslocamentos):
\Big(\sum_i k_i\,\mathbf{n}_i \mathbf{n}_i^T\Big)\mathbf{u} = \sum_i k_i\,\alpha_i\Delta T\,L_i\,\mathbf{n}_i.
Defina a matriz de rigidez resultante:
\mathbf{K}=\sum_i k_i\,\mathbf{n}_i\mathbf{n}_i^T \quad\text{e}\quad \mathbf{F}_{\text{th}}=\sum_i k_i\,\alpha_i\Delta T\,L_i\,\mathbf{n}_i.
Então o sistema é
\mathbf{K}\,\mathbf{u}=\mathbf{F}_{\text{th}}.
Observações:
  • \mathbf{K} é uma matriz 2\times2 (se só houver u_x,u_y), cujas componentes são
K_{11}=\sum_i k_i\cos^2\theta_i,\quad K_{12}=K_{21}=\sum_i k_i\cos\theta_i\sin\theta_i,\quad K_{22}=\sum_i k_i\sin^2\theta_i.
  • O vetor \mathbf{F}_{\text{th}} tem componentes
F_{\text{th},x}=\sum_i k_i\,\alpha_i\Delta T\,L_i\cos\theta_i,\quad F_{\text{th},y}=\sum_i k_i\,\alpha_i\Delta T\,L_i\sin\theta_i.
  1. Solução:
  • Uma vez montadas \mathbf{K} e \mathbf{F}_{\text{th}} com os valores numéricos (isto é, com cada L_i e \theta_i conhecidos e cada k_i calculado), resolve-se
\mathbf{u}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{F}_{\text{th}},
que dá u_x e u_y (deslocamentos horizontal e vertical).

Passo 4

Como aplicar no seu caso prático (passo a passo que você deve executar quando tiver a figura/comprimentos):
  1. Identificar todos os elementos i (todas as barras que ligam a placa/nó à estrutura fixa) e anotar para cada um: tipo do material (para pegar E_i e \alpha_i), área A_i (aqui 40{,}000\\ \mathrm{mm}^2), comprimento L_i e ângulo \theta_i.
  2. Calcular k_i=\dfrac{E_i A_i}{L_i}.
  3. Calcular os termos de força térmica local k_i\,\alpha_i\Delta T\,L_i = E_i A_i \alpha_i \Delta T. Repare: k_i \alpha_i\Delta T L_i = (E_i A_i/L_i)\alpha_i\Delta T L_i = E_i A_i \alpha_i \Delta T — ou seja, esse termo é exatamente a força térmica de aperto N_i calculada no Passo 2 (não depende de L_i). Isso é prático: o membro contribui com N_i projetado na direção x e y através do fator \cos\theta_i, \sin\theta_i.
  4. Montar \mathbf{K} e \mathbf{F}_{\text{th}} conforme as fórmulas do Passo 3.
  5. Resolver \mathbf{u}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{F}_{\text{th}} para obter u_x e u_y.
Nota prática e intuição: o termo E_i A_i \alpha_i \Delta T mede “a força térmica disponível” do membro; k_i=E_i A_i/L_i mede como a rigidez depende do comprimento. A matriz \mathbf{K} agrega como as direções e rigidezes das barras restringem os deslocamentos; \mathbf{F}_{\text{th}} é o “vetor de tendência” a deslocar a placa devido às expansões térmicas de cada membro.

Passo 5

Resumo do que falta para obter os deslocamentos numéricos (listei explicitamente para você checar na folha/prova):
  • Geometria necessária:
    • Para cada barra i: comprimento L_i e ângulo \theta_i (ou as coordenadas dos nós para derivar L_i e \theta_i).
    • Número e disposição (quantas barras de aço, quantas de alumínio? quem está conectado a quem?).
  • Condições de contorno/assunções:
    • O nó/placa só transladará (apenas u_x,u_y)? Ou também rotações devem ser consideradas? (se rotações forem relevantes, a formulação aumenta a dimensão do sistema).
    • Existem forças externas adicionais além do efeito térmico?
  • Confirmação sobre a área: usar A=400\\ \mathrm{cm}^2 para todas (como foi escrito) ou calcular área a partir dos diâmetros dados?
Se você me enviar a figura (ou as coordenadas/ângulos \theta_i e comprimentos L_i e quais barras são de aço/ alumínio), eu monto \mathbf{K} e \mathbf{F}_{\text{th}} numericamente e resolvo \mathbf{u} passo a passo com números.

Resposta

Não é possível determinar numericamente os deslocamentos horizontal e vertical porque a figura/arranjo geométrico (ângulos \theta_i, comprimentos L_i, conectividade e condições de contorno) não foi fornecida.
Cálculos úteis já obtidos: força térmica de aperto da barra de aço N_1=7{,}680{,}000\\ \mathrm{N} e da barra de alumínio N_2\approx5{,}380{,}160\\ \mathrm{N}.
Fórmula geral para os deslocamentos (quando a geometria for conhecida):
\mathbf{u}=\mathbf{K}^{-1}\mathbf{F}_{\text{th}},\quad \mathbf{K}=\sum_i \frac{E_iA_i}{L_i}\mathbf{n}_i\mathbf{n}_i^T,\quad \mathbf{F}_{\text{th}}=\sum_i E_iA_i\alpha_i\Delta T\,\mathbf{n}_i,
onde \mathbf{n}_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i)^T.

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