Exercício 12.
Determine os deslocamentos vertical e horizontal do método dos deslocamentos. A área da seção transversal é de 400
para todas as barras. e a temperatura aumentar em
. Considere para o aço
e diâmetro da barra
, e para o alumínio
,
e
.
Determine os deslocamentos vertical e horizontal do método dos deslocamentos. A área da seção transversal é de 400
Passo 1
O enunciado (o que temos) nos dá:
- Área da seção transversal para todas as barras:
. Vou converter para milímetros quadrados porque trabalharemos com em GPa/N·mm : . - Aumento de temperatura:
. - Para o aço (material 1):
, , diâmetro . - Para o alumínio (material 2):
, , diâmetro .
O enunciado pede: “Determine os deslocamentos vertical e horizontal do método dos deslocamentos.” Ou seja, o objetivo é calcular os deslocamentos (componentes horizontal e vertical) resultantes do aquecimento.
Observação importante e impedimento para cálculo numérico imediato:
- Não foi fornecida a figura/arranjo geométrico (posições das barras, inclinações/ângulos
, comprimentos de cada barra, conexões/placa rígida ou nós, condições de contorno — nós engastados ou livres etc.). Esses dados geométricos e de conectividade são essenciais para montar as equações de compatibilidade e equilíbrio e, portanto, para obter os deslocamentos numéricos. - Há uma aparente inconsistência: o enunciado dá área
“para todas as barras” e também dá diâmetros e . A área circular calculada a partir dos diâmetros é diferente de ; portanto vou seguir o enunciado literal e usar como indicado.
Dado que a figura/valores geométricos não foram enviados, não é possível calcular numericamente os deslocamentos finais. Nos passos seguintes eu:
- ensino passo a passo o método dos deslocamentos (compatibilidade + rigidez + forças térmicas) que você deve aplicar,
- calculo as forças térmicas internas (que podem ser úteis),
- mostro a formulação geral matricial que permite obter os deslocamentos assim que a geometria (ângulos e comprimentos) e a conectividade forem conhecidos.
Passo 2
Primeiro: cálculo das forças térmicas “de aperto” (força que surgiria se a barra fosse totalmente impedida de se alongar). Isso é independente do comprimento e útil para montar as forças equivalentes.
Princípio físico rápido (aula curta): se uma barra está aquecida livremente, sua deformação térmica livre é
. Se essa deformação é impedida, a barra gera uma tensão térmica
. A força axial equivalente é
. Esse
é a força axial que a barra tenderia a desenvolver quando completamente impedida.
Conversões das unidades de
:
Logo
Cálculo de
(aço, material 1):
Substituindo números (com
,
,
):
Cálculo de
(alumínio, material 2):
Fazendo as contas:
Interpretação rápida: se uma barra de aço e uma barra de alumínio, ambas com a área dada, fossem totalmente impedidas de alongar, a barra de aço geraria aproximadamente
de força axial e a de alumínio
. Esses valores serão usados como termos de “força térmica” na formulação do método dos deslocamentos.
Passo 3
Agora a formulação geral do método dos deslocamentos para um conjunto de barras que sustentam uma placa rígida (ou um nó) — explicação didática e passo a passo.
- Modelo de cada barra (elemento axial):
- Comprimento:
(desconhecido no enunciado; necessário). - Área:
(aqui se todas iguais). - Módulo de elasticidade:
(dado). - Rigidez axial do elemento:
Unidade:
. Observação:
depende de
.
- Direção do elemento:
- Para cada barra define-se o vetor unitário na direção do elemento (do nó/placa para o apoio):
, onde é o ângulo medido a partir do eixo (horizontal). - Se o conjunto tem apenas translação da placa (sem rotação), o deslocamento da placa é
.
- Deformação axial do elemento causada pelo deslocamento da placa e pela expansão térmica:
- A deformação axial total (extensão positiva) do elemento é
Explicação:
é a projeção do deslocamento da placa na direção do elemento (a extensão induzida geometricamente). Subtrai-se a expansão livre
porque essa expansão não gera força se for livre; apenas a parte que fica impedida gera força.
- Força axial no elemento (linear elástico):
- Equilíbrio do nó/placa (soma das forças vetoriais = 0 se não há forças externas horizontais/verticais):
Substituindo
:
- Forma matricial (sistema linear do método dos deslocamentos):
Defina a matriz de rigidez resultante:
Então o sistema é
Observações:
-
é uma matriz (se só houver ), cujas componentes são
- O vetor
tem componentes
- Solução:
- Uma vez montadas
e com os valores numéricos (isto é, com cada e conhecidos e cada calculado), resolve-se
que dá
e
(deslocamentos horizontal e vertical).
Passo 4
Como aplicar no seu caso prático (passo a passo que você deve executar quando tiver a figura/comprimentos):
- Identificar todos os elementos
(todas as barras que ligam a placa/nó à estrutura fixa) e anotar para cada um: tipo do material (para pegar e ), área (aqui ), comprimento e ângulo . - Calcular
. - Calcular os termos de força térmica local
. Repare: — ou seja, esse termo é exatamente a força térmica de aperto calculada no Passo 2 (não depende de ). Isso é prático: o membro contribui com projetado na direção e através do fator , . - Montar
e conforme as fórmulas do Passo 3. - Resolver
para obter e .
Nota prática e intuição: o termo
mede “a força térmica disponível” do membro;
mede como a rigidez depende do comprimento. A matriz
agrega como as direções e rigidezes das barras restringem os deslocamentos;
é o “vetor de tendência” a deslocar a placa devido às expansões térmicas de cada membro.
Passo 5
Resumo do que falta para obter os deslocamentos numéricos (listei explicitamente para você checar na folha/prova):
- Geometria necessária:
- Para cada barra
: comprimento e ângulo (ou as coordenadas dos nós para derivar e ). - Número e disposição (quantas barras de aço, quantas de alumínio? quem está conectado a quem?).
- Para cada barra
- Condições de contorno/assunções:
- O nó/placa só transladará (apenas
)? Ou também rotações devem ser consideradas? (se rotações forem relevantes, a formulação aumenta a dimensão do sistema). - Existem forças externas adicionais além do efeito térmico?
- O nó/placa só transladará (apenas
- Confirmação sobre a área: usar
para todas (como foi escrito) ou calcular área a partir dos diâmetros dados?
Se você me enviar a figura (ou as coordenadas/ângulos
e comprimentos
e quais barras são de aço/ alumínio), eu monto
e
numericamente e resolvo
passo a passo com números.
Resposta
Não é possível determinar numericamente os deslocamentos horizontal e vertical porque a figura/arranjo geométrico (ângulos
, comprimentos
, conectividade e condições de contorno) não foi fornecida.
Cálculos úteis já obtidos: força térmica de aperto da barra de aço e da barra de alumínio
.
Cálculos úteis já obtidos: força térmica de aperto da barra de aço
Fórmula geral para os deslocamentos (quando a geometria for conhecida):
onde
.