14- Acredita-se que 20 \% das pessoas nas proximidades de uma grande indústria siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 12 pessoas não tenham alergia entre 13 selecionad as ao acaso.

Passo 1

O enunciado diz que 20\% das pessoas têm alergia aos poluentes. Admitindo que esse percentual é correto, pedem a probabilidade de que, entre 13 pessoas selecionadas ao acaso, pelo menos 12 pessoas não tenham alergia.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\,\, - Tamanho da amostra: n=13.
\,\, - Probabilidade de uma pessoa ter alergia: 0,20.
\,\, - Probabilidade de uma pessoa não ter alergia: 0,80 (isso é 1-0,20).
\,\, - Evento pedido: “pelo menos 12 pessoas não tenham alergia”, ou seja X\ge 12, onde X é o número de não alérgicos entre as 13.

Passo 2

Modelo probabilístico e por que usá‑lo. Vamos modelar X como uma variável aleatória que conta o número de “sucessos” em n tentativas, onde sucesso = “pessoa não tem alergia”. As condições para usar a distribuição binomial são atendidas (cada pessoa é independente, só há dois resultados por pessoa: alérgico ou não, e a probabilidade de não ter alergia é constante). Assim usamos a distribuição binomial com parâmetros n e p, cuja massa de probabilidade é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}.
Aqui: n é o número de tentativas, k é o número de sucessos desejados, p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, e \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta as formas de escolher quais k tentativas foram sucessos.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: n=13 e p=0,8 (probabilidade de não ter alergia). Precisamos de
P(X\ge 12)=P(X=12)+P(X=13).
Usando a fórmula da binomial:
P(X=12)=\binom{13}{12} (0,8)^{12} (0,2)^{1},
P(X=13)=\binom{13}{13} (0,8)^{13} (0,2)^{0}.

Passo 4

Calcular os coeficientes binomiais. Sabemos que
\binom{13}{12}=13 e \binom{13}{13}=1 (explicação rápida: escolher 12 entre 13 é escolher qual 1 fica de fora, então 13 maneiras; escolher 13 entre 13 é só 1 maneira). Portanto:
P(X=12)=13\,(0,8)^{12}\,(0,2),
P(X=13)=(0,8)^{13}.

Passo 5

Calcular as potências de 0,8. Vamos construir progressivamente (cada resultado é 0,8 vezes o anterior):
(0,8)^2=0,64,
(0,8)^3=0,512,
(0,8)^4=0,4096,
(0,8)^5=0,32768,
(0,8)^6=0,262144,
(0,8)^7=0,2097152,
(0,8)^8=0,16777216,
(0,8)^9=0,134217728,
(0,8)^{10}=0,1073741824,
(0,8)^{11}=0,08589934592,
(0,8)^{12}=0,068719476736,
(0,8)^{13}=0,0549755813888.

Passo 6

Calcular P(X=12). Primeiro calcule (0,8)^{12}\cdot 0,2:
(0,8)^{12}\cdot 0,2 = 0,068719476736 \times 0,2 = 0,0137438953472.
Agora multiplica por 13:
P(X=12)=13\times 0,0137438953472 = 0,1786706395136.

Passo 7

Calcular P(X=13):
P(X=13)=(0,8)^{13}=0,0549755813888.

Passo 8

Somar as probabilidades para obter P(X\ge 12):
P(X\ge 12)=P(X=12)+P(X=13)=0,1786706395136 + 0,0549755813888.
Fazendo a soma:
P(X\ge 12)=0,2336462209024.

Passo 9

Interpretando: a probabilidade pedida é aproximadamente 0,2336, ou seja cerca de 23{,}36\%. Força aí — não é tão pequena quanto parece!

Resposta

0,2336462209024

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