14- Acredita-se que
das pessoas nas proximidades de uma grande indústria siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 12 pessoas não tenham alergia entre 13 selecionad as ao acaso.
Passo 1
O enunciado diz que
das pessoas têm alergia aos poluentes. Admitindo que esse percentual é correto, pedem a probabilidade de que, entre
pessoas selecionadas ao acaso, pelo menos
pessoas não tenham alergia.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Tamanho da amostra:
.
- Probabilidade de uma pessoa ter alergia:
.
- Probabilidade de uma pessoa não ter alergia:
(isso é
).
- Evento pedido: “pelo menos
pessoas não tenham alergia”, ou seja
, onde
é o número de não alérgicos entre as
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Modelo probabilístico e por que usá‑lo. Vamos modelar
como uma variável aleatória que conta o número de “sucessos” em
tentativas, onde sucesso = “pessoa não tem alergia”. As condições para usar a distribuição binomial são atendidas (cada pessoa é independente, só há dois resultados por pessoa: alérgico ou não, e a probabilidade de não ter alergia é constante). Assim usamos a distribuição binomial com parâmetros
e
, cuja massa de probabilidade é:
Aqui:
é o número de tentativas,
é o número de sucessos desejados,
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, e
é o coeficiente binomial que conta as formas de escolher quais
tentativas foram sucessos.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema:
e
(probabilidade de não ter alergia). Precisamos de
Usando a fórmula da binomial:
Passo 4
Calcular os coeficientes binomiais. Sabemos que
e
(explicação rápida: escolher 12 entre 13 é escolher qual 1 fica de fora, então 13 maneiras; escolher 13 entre 13 é só 1 maneira). Portanto:
Passo 5
Calcular as potências de
. Vamos construir progressivamente (cada resultado é
vezes o anterior):
Passo 6
Calcular
. Primeiro calcule
:
Agora multiplica por
:
Passo 7
Calcular
:
Passo 8
Somar as probabilidades para obter
:
Fazendo a soma:
Passo 9
Interpretando: a probabilidade pedida é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Força aí — não é tão pequena quanto parece!