13-Em determinada linha industrial a obtenção de certo solvente utilizado na Engenharia Florestal é trabalhosa e requer muita atenção, de modo que 1 / 3 dos solventes produzidos não ficam com as propriedades químicas desejáveis e consequentemente não podem ser vendidos e devem ser reciclados. Se forem produzidos 4 solventes em um turno de trabalho. Calcule a probabilidade:
a) Dois solventes serem separados para o descarte.
b) No mínimo dois solventes serem separados para o descarte.

Passo 1

O enunciado diz que, em cada solvente produzido, a probabilidade de ele não ficar com as propriedades desejáveis (logo ser separado para descarte) é \tfrac{1}{3}. Produzem-se 4 solventes no turno. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de exatamente 2 solventes serem separados para descarte?
b) Qual a probabilidade de no mínimo 2 solventes serem separados para descarte (ou seja, 2, 3 ou 4 separados)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;n=4 (número de solventes), \;p=\tfrac{1}{3} (probabilidade de um solvente ser ruim/ser separado), \;q=1-p=\tfrac{2}{3} (probabilidade de um solvente ser bom).

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula que vamos usar (a “aula rápida”):
  • Aqui cada solvente é um ensaio independente com duas possibilidades (ruim ou bom) e probabilidade fixa de “sucesso” (aqui sucesso = ser separado) igual a p. Isso é um caso clássico de distribuição binomial.
  • Seja X o número de solventes separados (ruins) entre os n produzidos. Então
X \sim \text{Binomial}(n,p)
e a fórmula para a probabilidade de exatamente k “sucessos” é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
  • Explicando os termos: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k entre os n são os “sucessos”; ela vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde m! (fatorial) significa m!=(m)(m-1)(m-2)\cdots 1 (por exemplo 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24).
  • No nosso caso n=\;4 e p=\tfrac{1}{3}. Então podemos aplicar a fórmula para k=2 (item a) e para somar k=2,3,4 ou usar complemento para o item b.

Passo 3

Calcular a probabilidade de exatamente 2 solventes separados ( P(X=2)) passo a passo:
  • Primeiro calcule \binom{4}{2}:
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\cdot2}=\frac{24}{4}=6.
  • Agora coloque na fórmula com p=\tfrac{1}{3} e q=1-p=\tfrac{2}{3}:
P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2} =6\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{4}{9}.
  • Calcule os produtos:
6\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{4}{9}=\frac{24}{81}.
  • Simplifique a fração dividindo por 3:
\frac{24}{81}=\frac{8}{27}.
  • Valor decimal aproximado (só para ter noção): \frac{8}{27}\approx0{,}296296.

Passo 4

Calcular a probabilidade de no mínimo 2 solventes separados, isto é P(X\ge 2).
Duas maneiras comuns: somar P(2)+P(3)+P(4) ou usar o complemento 1-P(0)-P(1). O complemento é mais rápido; vou usar ele e mostrar também brevemente a soma para checar.
Usando complemento:
  • Calcule P(X=0) (nenhum separado):
P(X=0)=\binom{4}{0}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{0}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{4}=1\cdot1\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^{4}=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{4}=\frac{16}{81}.
  • Calcule P(X=1) (exatamente um separado):
P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{1}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3} =4\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{8}{27}=4\cdot\frac{8}{81}=\frac{32}{81}.
  • Some P(X=0)+P(X=1):
P(X=0)+P(X=1)=\frac{16}{81}+\frac{32}{81}=\frac{48}{81}.
  • Então
P(X\ge2)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)\big)=1-\frac{48}{81}=\frac{33}{81}.
  • Simplifique \frac{33}{81} dividindo por 3:
\frac{33}{81}=\frac{11}{27}.
  • Valor decimal aproximado: \frac{11}{27}\approx0{,}407407.
Verificação rápida somando P(2)+P(3)+P(4):
  • Já temos P(2)=\frac{24}{81}.
  • Calcule P(3):
P(3)=\binom{4}{3}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{1} =4\cdot\frac{1}{27}\cdot\frac{2}{3}=4\cdot\frac{2}{81}=\frac{8}{81}.
  • Calcule P(4):
P(4)=\binom{4}{4}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{4}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{0} =1\cdot\frac{1}{81}\cdot1=\frac{1}{81}.
  • Soma: \frac{24+8+1}{81}=\frac{33}{81}=\frac{11}{27}, bate com o complemento.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (um toque amigo): quando a questão pede “pelo menos k” em distribuições binomiais, pense em usar o complemento 1-\sum_{i=0}^{k-1}P(X=i) — costuma ser mais rápido e evita somar muitos termos. E pratique calcular \binom{n}{k} com fatoriais ou lembrando valores pequenos (como \binom{4}{2}=6, \binom{4}{3}=4).

Resposta

(a) \dfrac{8}{27}
(b) \dfrac{11}{27}

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