13-Em determinada linha industrial a obtenção de certo solvente utilizado na Engenharia Florestal é trabalhosa e requer muita atenção, de modo que
dos solventes produzidos não ficam com as propriedades químicas desejáveis e consequentemente não podem ser vendidos e devem ser reciclados. Se forem produzidos 4 solventes em um turno de trabalho. Calcule a probabilidade:
a) Dois solventes serem separados para o descarte.
b) No mínimo dois solventes serem separados para o descarte.
a) Dois solventes serem separados para o descarte.
b) No mínimo dois solventes serem separados para o descarte.
Passo 1
O enunciado diz que, em cada solvente produzido, a probabilidade de ele não ficar com as propriedades desejáveis (logo ser separado para descarte) é
. Produzem-se
solventes no turno. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de exatamente solventes serem separados para descarte?
b) Qual a probabilidade de no mínimo solventes serem separados para descarte (ou seja,
,
ou
separados)?
a) Qual a probabilidade de exatamente
b) Qual a probabilidade de no mínimo
Informações relevantes extraídas do enunciado:
(número de solventes),
(probabilidade de um solvente ser ruim/ser separado),
(probabilidade de um solvente ser bom).
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula que vamos usar (a “aula rápida”):
- Aqui cada solvente é um ensaio independente com duas possibilidades (ruim ou bom) e probabilidade fixa de “sucesso” (aqui sucesso = ser separado) igual a
. Isso é um caso clássico de distribuição binomial. - Seja
o número de solventes separados (ruins) entre os produzidos. Então
e a fórmula para a probabilidade de exatamente
“sucessos” é
- Explicando os termos:
é o número de maneiras de escolher quais entre os são os “sucessos”; ela vale
onde
(fatorial) significa
(por exemplo
).
- No nosso caso
e . Então podemos aplicar a fórmula para (item a) e para somar ou usar complemento para o item b.
Passo 3
Calcular a probabilidade de exatamente
solventes separados (
) passo a passo:
- Primeiro calcule
:
- Agora coloque na fórmula com
e :
- Calcule os produtos:
- Simplifique a fração dividindo por
:
- Valor decimal aproximado (só para ter noção):
.
Passo 4
Calcular a probabilidade de no mínimo
solventes separados, isto é
.
Duas maneiras comuns: somar ou usar o complemento
. O complemento é mais rápido; vou usar ele e mostrar também brevemente a soma para checar.
Duas maneiras comuns: somar
Usando complemento:
- Calcule
(nenhum separado):
- Calcule
(exatamente um separado):
- Some
:
- Então
- Simplifique
dividindo por :
- Valor decimal aproximado:
.
Verificação rápida somando
:
- Já temos
. - Calcule
:
- Calcule
:
- Soma:
, bate com o complemento.
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (um toque amigo): quando a questão pede “pelo menos
” em distribuições binomiais, pense em usar o complemento
— costuma ser mais rápido e evita somar muitos termos. E pratique calcular
com fatoriais ou lembrando valores pequenos (como
,
).
Resposta
(a)
(b)
(b)