15-Você observa se 4 equipamentos do laboratório do curso de Engenharia de Produção da UFTM estão estragados. Seja X o número de equipamentos estragados. Determine a distribuição de probabilidades de X (mostre em tabela e gráfico). Mostre o espaço amostral e defina os valores que a variável aleatória X pode assumir.

Passo 1

O enunciado diz que você observa se 4 equipamentos estão estragados. Define-se a variável aleatória X como “o número de equipamentos estragados” nessa observação. O que é pedido:
  • Determinar a distribuição de probabilidades de X.
  • Mostrar essa distribuição em tabela e em gráfico.
  • Mostrar o espaço amostral.
  • Definir os valores que X pode assumir.
Informações dadas explícitas: o único dado numérico é que se observam exatamente 4 equipamentos. Não foi dado o parâmetro de probabilidade de um equipamento estar estragado; portanto vou manter esse parâmetro como p, onde p é a probabilidade de um equipamento, qualquer um, estar estragado (assumimos cada equipamento com mesma probabilidade e observações independentes). A resolução prossegue a partir disso.

Passo 2

Modelagem básica (explicando passo a passo, como se fosse na prova):
  • Cada equipamento observado tem dois resultados possíveis: “estragado” (vou chamar de E) ou “não estragado / bom” (vou chamar de B).
  • Para cada equipamento, defina uma variável indicadora de Bernoulli: vale 1 se estiver estragado e 0 caso contrário. A probabilidade de estragado é p e de não-estragado é 1-p.
  • Como observamos 4 equipamentos independentes e identicamente distribuídos, a variável X (soma desses indicadores) conta quantos E ocorreram em 4 ensaios. Essa é a situação clássica que gera a fórmula combinatória da distribuição de probabilidades que vamos obter agora.

Passo 3

Derivando a fórmula da probabilidade (aula curtinha de por que aparece o binômio):
  • Para obter P(X=k) (a probabilidade de exatamente k equipamentos estragados), pense assim: escolha quais k dos 4 equipamentos são os estragados e os outros 4-k são bons.
  • O número de maneiras de escolher quais k são estragados é o número combinatório \binom{4}{k}. Lembre-se que
\binom{4}{k}=\frac{4!}{k!(4-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
  • Para uma escolha fixa (uma sequência com exatamente k E e 4-k B), a probabilidade dessa sequência ocorrer é p^k(1-p)^{4-k} (produto das probabilidades, pela independência).
  • Somando sobre todas as \binom{4}{k} sequências que têm k E, obtemos a fórmula:
P(X=k)=\binom{4}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{4-k},\qquad k=0,1,2,3,4.

Passo 4

Cálculo explícito dos coeficientes combinatórios (pra você não ter que memorizar):
  • \binom{4}{0}=1
  • \binom{4}{1}=4
  • \binom{4}{2}=6
  • \binom{4}{3}=4
  • \binom{4}{4}=1
Assim as probabilidades ficam:
\begin{aligned} P(X=0)&=(1-p)^{4},\\[4pt] P(X=1)&=4\,p\,(1-p)^{3},\\[4pt] P(X=2)&=6\,p^{2}\,(1-p)^{2},\\[4pt] P(X=3)&=4\,p^{3}\,(1-p),\\[4pt] P(X=4)&=p^{4}. \end{aligned}]

Passo 5

Espaço amostral completo (listei todas as sequências de 4 observações usando E para estragado e B para bom). Cada elemento do espaço amostral é uma sequência de comprimeiro 4:
\Omega=\{\,EEEE,\;EEEB,\;EEBE,\;EEBB,\;EBEE,\;EBEB,\;EBBE,\;EBBB,\;BEEE,\;BEEB,\;BEBE,\;BEBB,\;BBEE,\;BBEB,\;BBBE,\;BBBB\,\}.
Obs.: conte: são 2^{4}=16 sequências no total. A variável X associa a cada sequência o número de letras E nela.

Passo 6

Valores que X pode assumir e mapeamento (explicando com exemplo):
  • Claramente X pode assumir os valores \{0,1,2,3,4\} — porque em 4 observações o número de estragados pode ser nenhum, um, dois, três ou quatro.
  • Exemplo de mapeamento de uma sequência para X: para a sequência EEBB, X=2 (porque há dois E). Para BBBB, X=0. Para EEEE, X=4.

Passo 7

Tabela da distribuição (coloquei as expressões explícitas; troque p pelo valor que seu professor der, se houver):
\begin{array}{c|c} \text{k} & P(X=k)\\hline 0 & (1-p)^{4}\\[4pt] 1 & 4\,p\,(1-p)^{3}\\[4pt] 2 & 6\,p^{2}\,(1-p)^{2}\\[4pt] 3 & 4\,p^{3}\,(1-p)\\[4pt] 4 & p^{4} \end{array}]

Passo 8

Gráfico (explicação de como fazer na prova e exemplo numérico para intuir):
  • Na prova, você pode desenhar um gráfico de barras (histograma discreto) com as abscissas 0,1,2,3,4 e alturas P(X=k) conforme a tabela acima.
  • Para termos uma imagem concreta, suponha por exemplo p=0,3 (escolhi um valor ilustrativo). Calculando:
\begin{aligned} P(X=0)&=(0,7)^{4}=0,2401,\\[4pt] P(X=1]&=4\cdot0,3\cdot(0,7)^{3}=0,4116,\\[4pt] P(X=2]&=6\cdot(0,3)^{2}\cdot(0,7)^{2}=0,2646,\\[4pt] P(X=3]&=4\cdot(0,3)^{3}\cdot0,7=0,0756,\\[4pt] P(X=4]&=(0,3)^{4}=0,0081. \end{aligned}
  • Um esboço de gráfico de barras (valores para p=0,3) usando ‘=’ proporcional ao tamanho:
0: 0,2401 ====
1: 0,4116 ============
2: 0,2646 ========
3: 0,0756 ==
4: 0,0081 (quase 0)
Você faria algo parecido na prova: marcar as alturas (numéricas ou simbólicas) e desenhar as barras.]

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (motivação e truques):
  • Se o professor der um valor para p, substitua direto na tabela e calcule as potências; se não der, deixe em forma simbólica como mostramos.
  • Para cálculos rápidos sem calculadora, saiba calcular (1-p)^4 e combinar multiplicações por simetria (por exemplo P(X=1)=4p(1-p)^3 é normalmente o maior termo quando p é pequeno-médio).
  • Lembre-se que soma das probabilidades deve dar 1: verifique somando as entradas da tabela (é propriedade do binômio).

Resposta

\Omega=\{\,EEEE,\;EEEB,\;EEBE,\;EEBB,\;EBEE,\;EBEB,\;EBBE,\;EBBB,\;BEEE,\;BEEB,\;BEBE,\;BEBB,\;BBEE,\;BBEB,\;BBBE,\;BBBB\,\}
X\in\{0,1,2,3,4\}
P(X=k)=\binom{4}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{4-k},\qquad k=0,1,2,3,4
Tabela: P(X=0)=(1-p)^{4},\;P(X=1)=4p(1-p)^{3},\;P(X=2)=6p^{2}(1-p)^{2},\;P(X=3)=4p^{3}(1-p),\;P(X=4)=p^{4}.
Gráfico (exemplo com p=0,3): P(X=0)=0,2401,\;P(X=1)=0,4116,\;P(X=2)=0,2646,\;P(X=3)=0,0756,\;P(X=4)=0,0081.

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