15-Você observa se 4 equipamentos do laboratório do curso de Engenharia de Produção da UFTM estão estragados. Seja
o número de equipamentos estragados. Determine a distribuição de probabilidades de
(mostre em tabela e gráfico). Mostre o espaço amostral e defina os valores que a variável aleatória
pode assumir.
Passo 1
O enunciado diz que você observa se
equipamentos estão estragados. Define-se a variável aleatória
como “o número de equipamentos estragados” nessa observação. O que é pedido:
- Determinar a distribuição de probabilidades de
. - Mostrar essa distribuição em tabela e em gráfico.
- Mostrar o espaço amostral.
- Definir os valores que
pode assumir.
Informações dadas explícitas: o único dado numérico é que se observam exatamente
equipamentos. Não foi dado o parâmetro de probabilidade de um equipamento estar estragado; portanto vou manter esse parâmetro como
, onde
é a probabilidade de um equipamento, qualquer um, estar estragado (assumimos cada equipamento com mesma probabilidade e observações independentes). A resolução prossegue a partir disso.
Passo 2
Modelagem básica (explicando passo a passo, como se fosse na prova):
- Cada equipamento observado tem dois resultados possíveis: “estragado” (vou chamar de
) ou “não estragado / bom” (vou chamar de ). - Para cada equipamento, defina uma variável indicadora de Bernoulli: vale
se estiver estragado e caso contrário. A probabilidade de estragado é e de não-estragado é . - Como observamos
equipamentos independentes e identicamente distribuídos, a variável (soma desses indicadores) conta quantos ocorreram em ensaios. Essa é a situação clássica que gera a fórmula combinatória da distribuição de probabilidades que vamos obter agora.
Passo 3
Derivando a fórmula da probabilidade (aula curtinha de por que aparece o binômio):
- Para obter
(a probabilidade de exatamente equipamentos estragados), pense assim: escolha quais dos equipamentos são os estragados e os outros são bons. - O número de maneiras de escolher quais
são estragados é o número combinatório . Lembre-se que
onde
(fatorial) significa
.
- Para uma escolha fixa (uma sequência com exatamente
e ), a probabilidade dessa sequência ocorrer é (produto das probabilidades, pela independência). - Somando sobre todas as
sequências que têm , obtemos a fórmula:
Passo 4
Cálculo explícito dos coeficientes combinatórios (pra você não ter que memorizar):
Assim as probabilidades ficam:
Passo 5
Espaço amostral completo (listei todas as sequências de
observações usando
para estragado e
para bom). Cada elemento do espaço amostral é uma sequência de comprimeiro
:
Obs.: conte: são
sequências no total. A variável
associa a cada sequência o número de letras
nela.
Passo 6
Valores que
pode assumir e mapeamento (explicando com exemplo):
- Claramente
pode assumir os valores — porque em 4 observações o número de estragados pode ser nenhum, um, dois, três ou quatro. - Exemplo de mapeamento de uma sequência para
: para a sequência , (porque há dois ). Para , . Para , .
Passo 7
Tabela da distribuição (coloquei as expressões explícitas; troque
pelo valor que seu professor der, se houver):
Passo 8
Gráfico (explicação de como fazer na prova e exemplo numérico para intuir):
- Na prova, você pode desenhar um gráfico de barras (histograma discreto) com as abscissas
e alturas conforme a tabela acima. - Para termos uma imagem concreta, suponha por exemplo
(escolhi um valor ilustrativo). Calculando:
- Um esboço de gráfico de barras (valores para
) usando ‘=’ proporcional ao tamanho:
0:
====
1: ============
2: ========
3: ==
4: (quase 0)
1:
2:
3:
4:
Você faria algo parecido na prova: marcar as alturas (numéricas ou simbólicas) e desenhar as barras.]
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (motivação e truques):
- Se o professor der um valor para
, substitua direto na tabela e calcule as potências; se não der, deixe em forma simbólica como mostramos. - Para cálculos rápidos sem calculadora, saiba calcular
e combinar multiplicações por simetria (por exemplo é normalmente o maior termo quando é pequeno-médio). - Lembre-se que soma das probabilidades deve dar
: verifique somando as entradas da tabela (é propriedade do binômio).
Resposta
Tabela:
Gráfico (exemplo com ):
Gráfico (exemplo com