12- Sabe-se que 0,6 \% dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos,
a) haja exatamente 4 parafusos defeituosos.
b) não haja mais do que 4 parafusos defeituosos.
c) encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: a proporção de parafusos defeituosos é 0{,}6\%. Vou escrever isso como probabilidade p=0{,}006.
  • Informação: o pacote contém n=1000 parafusos (uma amostra de tamanho 1000).
  • Perguntas:
    a) Estimar a probabilidade de que haja exatamente 4 parafusos defeituosos.
    b) Estimar a probabilidade de que não haja mais do que 4 parafusos defeituosos (ou seja, X\le 4).
    c) Estimar a probabilidade de que se encontrem pelo menos 3 parafusos defeituosos (ou seja, X\ge 3).

Passo 2

Modelagem do problema e escolha do método:
  • Cada parafuso pode ser visto como uma tentativa de Bernoulli com probabilidade de sucesso (defeito) p=0{,}006. Se X é o número de parafusos defeituosos em n tentativas independentes, então exatamente
X \sim \text{Binomial}(n,p),
e a fórmula exata é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k itens dentre n, p é a probabilidade de cada sucesso, e 1-p é a probabilidade de falha.
  • Porém, calcular \binom{1000}{k} e (1-p)^{1000-k} diretamente para várias somas é trabalhoso à mão. Existe uma aproximação muito usada quando n é grande e p é pequeno: a aproximação de Poisson. A regra prática é que, se n é grande, p é pequeno e \lambda = np é moderado, então
\text{Binomial}(n,p)\approx \text{Poisson}(\lambda)\quad\text{com}\quad \lambda = n p.
  • A distribuição de Poisson com parâmetro \lambda tem massa de probabilidade
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde k! é o fatorial de k.
  • Aqui temos n=1000 grande e p=0{,}006 pequeno; \lambda = np = 1000\times 0{,}006 = 6. Portanto a aproximação de Poisson com \lambda=6 é adequada e vai simplificar muito os cálculos. Vou usar essa aproximação para estimar todas as probabilidades pedidas.

Passo 3

Calcule \lambda:
\lambda = n p = 1000 \times 0{,}006 = 6.
Então usaremos X\sim\text{Poisson}(6) aproximando o número de defeituosos.

Passo 4

Parte (a): probabilidade de exatamente 4 defeituosos.
  • Pela fórmula da Poisson:
P(X=4)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{4}}{4!}.
  • Substituindo \lambda=6:
P(X=4)=e^{-6}\frac{6^{4}}{4!}.
  • Calcule 6^{4} e 4!:
6^{4}=6\cdot6\cdot6\cdot6=1296,\qquad 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
  • Assim
\frac{6^{4}}{4!}=\frac{1296}{24}=54,
portanto
P(X=4)=54\,e^{-6}.
  • Agora uma aproximação numérica: e^{-6}\approx 0{,}0024787521766663585. Multiplicando por 54:
P(X=4)\approx 54\times 0{,}0024787521766663585 \approx 0{,}1338526175.
Arredondando razoavelmente, P(X=4)\approx 0{,}13385.

Passo 5

Parte (b): probabilidade de não haver mais do que 4 defeituosos, isto é P(X\le 4).
  • Pela Poisson, faça a soma dos termos k=0,1,2,3,4:
P(X\le 4)=\sum_{k=0}^{4} e^{-6}\frac{6^{k}}{k!}.
  • Vou calcular cada termo numericamente (usando e^{-6}\approx 0{,}0024787521766663585):
k = 0:
e^{-6}\frac{6^{0}}{0!}=e^{-6}\cdot 1 = 0{,}0024787521766663585.
k = 1:
e^{-6}\frac{6^{1}}{1!}=e^{-6}\cdot 6 \approx 0{,}014872513059998151.
k = 2:
e^{-6}\frac{6^{2}}{2!}=e^{-6}\cdot \frac{36}{2}=e^{-6}\cdot 18 \approx 0{,}044617538 (aprox.).
k = 3:
e^{-6}\frac{6^{3}}{3!}=e^{-6}\cdot \frac{216}{6}=e^{-6}\cdot 36 \approx 0{,}0892350766.
k = 4:
e^{-6}\frac{6^{4}}{4!}=54\,e^{-6}\approx 0{,}1338526175.
  • Somando esses valores:
P(X\le 4)\approx 0{,}0024787522+0{,}0148725131+0{,}0446175383+0{,}0892350766+0{,}1338526175 \approx 0{,}2850564977.
Arredondando, P(X\le 4)\approx 0{,}28506.

Passo 6

Parte (c): probabilidade de pelo menos 3 defeituosos, isto é P(X\ge 3).
  • É mais fácil calcular pelo complemento:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2).
  • Já temos os termos para k=0,1,2 do passo anterior. Reunindo:
P(X\le 2)=e^{-6}\left(\frac{6^{0}}{0!}+\frac{6^{1}}{1!}+\frac{6^{2}}{2!}\right) \approx 0{,}0024787522+0{,}0148725131+0{,}0446175383 \approx 0{,}0619688036.
  • Portanto
P(X\ge 3)=1-0{,}0619688036 \approx 0{,}9380311964.
Arredondando, P(X\ge 3)\approx 0{,}93803.

Resposta

a)\;0{,}13385
b)\;0{,}28506
\text{©};0{,}93803)

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