12- Sabe-se que
dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos,
a) haja exatamente 4 parafusos defeituosos.
b) não haja mais do que 4 parafusos defeituosos.
c) encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos.
a) haja exatamente 4 parafusos defeituosos.
b) não haja mais do que 4 parafusos defeituosos.
c) encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Informação: a proporção de parafusos defeituosos é
. Vou escrever isso como probabilidade . - Informação: o pacote contém
parafusos (uma amostra de tamanho ). - Perguntas:
a) Estimar a probabilidade de que haja exatamenteparafusos defeituosos.
b) Estimar a probabilidade de que não haja mais do queparafusos defeituosos (ou seja, ).
c) Estimar a probabilidade de que se encontrem pelo menosparafusos defeituosos (ou seja, ).
Passo 2
Modelagem do problema e escolha do método:
- Cada parafuso pode ser visto como uma tentativa de Bernoulli com probabilidade de sucesso (defeito)
. Se é o número de parafusos defeituosos em tentativas independentes, então exatamente
e a fórmula exata é
onde
é o número de maneiras de escolher
itens dentre
,
é a probabilidade de cada sucesso, e
é a probabilidade de falha.
- Porém, calcular
e diretamente para várias somas é trabalhoso à mão. Existe uma aproximação muito usada quando é grande e é pequeno: a aproximação de Poisson. A regra prática é que, se é grande, é pequeno e é moderado, então
- A distribuição de Poisson com parâmetro
tem massa de probabilidade
onde
é o fatorial de
.
- Aqui temos
grande e pequeno; . Portanto a aproximação de Poisson com é adequada e vai simplificar muito os cálculos. Vou usar essa aproximação para estimar todas as probabilidades pedidas.
Passo 3
Calcule
:
Então usaremos
aproximando o número de defeituosos.
Passo 4
Parte (a): probabilidade de exatamente
defeituosos.
- Pela fórmula da Poisson:
- Substituindo
:
- Calcule
e :
- Assim
portanto
- Agora uma aproximação numérica:
. Multiplicando por :
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 5
Parte (b): probabilidade de não haver mais do que
defeituosos, isto é
.
- Pela Poisson, faça a soma dos termos
:
- Vou calcular cada termo numericamente (usando
):
k = 0:
k = 1:
k = 2:
k = 3:
k = 4:
- Somando esses valores:
Arredondando,
.
Passo 6
Parte (c): probabilidade de pelo menos
defeituosos, isto é
.
- É mais fácil calcular pelo complemento:
- Já temos os termos para
do passo anterior. Reunindo:
- Portanto
Arredondando,
.
Resposta
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