(2.14) A adição de isolamento em uma superfície cilíndrica, tal como um fio, pode aumentar a taxa de dissipação de calor para o ambiente. Para um fio №
de diâmetro), qual é a espessura do isolamento de borracha (
) que maximizará a taxa de perda de calor, se o coeficiente de transferência de calor é
?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a espessura do isolamento que maximiza a perda de calor por unidade de comprimento do fio:
- Diâmetro do fio (núcleo metálico):
. - Condutividade térmica do isolamento (borracha):
. - Coeficiente de convecção para o ar ambiente:
.
O que se pede: determinar a espessura do isolamento
(em metros ou centímetros) tal que a taxa de perda de calor por unidade de comprimento do fio seja máxima.
Informação óbvia que vou usar: o raio interno (do fio nu) é metade do diâmetro, isto é . Não resolvo nada ainda, só enumerei os dados.
Informação óbvia que vou usar: o raio interno (do fio nu) é metade do diâmetro, isto é
Passo 2
Modelo físico e equações básicas — resistência térmica em série (condutiva no isolante + convectiva no ar).
Para um cilindro longo com raio interno
e raio externo do isolamento
(logo a espessura do isolamento é
), a resistência térmica por unidade de comprimento é a soma da resistência por condução no isolante e da resistência por convecção na superfície externa:
- Resistência por condução (cilíndrica), por unidade de comprimento:
Explicação: em geometria cilíndrica a condutância radial depende do logaritmo das razões de raio;
é a condutividade do material do isolamento.
- Resistência por convecção na superfície externa, por unidade de comprimento:
Explicação: a resistência convectiva depende da área de troca, que para cilindro por unidade de comprimento é
, e do coeficiente
.
A resistência total por unidade de comprimento é
A taxa de calor por unidade de comprimento (do fio para o ambiente) é
onde
é a temperatura da superfície interna (fio) e
a temperatura ambiente. Como
é fixo, maximizar
é equivalente a minimizar
.
Passo 3
Simplificar a expressão que vamos minimizar. Como
é constante, é conveniente multiplicar
por
e minimizar a função equivalente
Minimizar
em
é o mesmo que minimizar
.
Passo 4
Derivada de
e condição de extremo.
Calcule a derivada de
em relação a
:
Para um extremo estacionário igualamos a zero:
Multiplicando por
obtemos
Logo a solução é
Interpretação física simples: o raio externo ótimo depende somente da razão
. Se
então não convém acrescentar isolamento (o ótimo seria não isolar), mas se
então a espessura ótima é
.
Passo 5
Verificação do tipo de extremo (mínimo de
→ mínimo de
→ máximo de
).
Calcule a segunda derivada:
Avaliada em
, essa segunda derivada é positiva (pode-se checar numericamente), o que confirma que
tem mínimo em
. Portanto
tem mínimo e
tem máximo nessa escolha de
.
Passo 6
Aplicar os números do enunciado e calcular a espessura.
Primeiro calcule o raio interno
. O diâmetro foi dado em centímetros; convertendo para metros:
O raio externo ótimo é
A espessura ótima do isolamento é
Converter para centímetros para facilitar a intuição:
Resposta
0,0147 m
1,47 cm