(2.14) A adição de isolamento em uma superfície cilíndrica, tal como um fio, pode aumentar a taxa de dissipação de calor para o ambiente. Para um fio № 10(0,26 \mathrm{~cm} de diâmetro), qual é a espessura do isolamento de borracha ( \mathrm{k}=0,16 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) que maximizará a taxa de perda de calor, se o coeficiente de transferência de calor é 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a espessura do isolamento que maximiza a perda de calor por unidade de comprimento do fio:
  • Diâmetro do fio (núcleo metálico): 0,26\\ \mathrm{cm}.
  • Condutividade térmica do isolamento (borracha): k=0,16\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Coeficiente de convecção para o ar ambiente: h=10\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
O que se pede: determinar a espessura do isolamento \,t (em metros ou centímetros) tal que a taxa de perda de calor por unidade de comprimento do fio seja máxima.
Informação óbvia que vou usar: o raio interno (do fio nu) é metade do diâmetro, isto é \,r_{1}=\tfrac{0,26\\ \mathrm{cm}}{2}. Não resolvo nada ainda, só enumerei os dados.

Passo 2

Modelo físico e equações básicas — resistência térmica em série (condutiva no isolante + convectiva no ar).
Para um cilindro longo com raio interno r_{1} e raio externo do isolamento r_{2} (logo a espessura do isolamento é t=r_{2}-r_{1}), a resistência térmica por unidade de comprimento é a soma da resistência por condução no isolante e da resistência por convecção na superfície externa:
  • Resistência por condução (cilíndrica), por unidade de comprimento:
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right).
Explicação: em geometria cilíndrica a condutância radial depende do logaritmo das razões de raio; k é a condutividade do material do isolamento.
  • Resistência por convecção na superfície externa, por unidade de comprimento:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_{2} h}.
Explicação: a resistência convectiva depende da área de troca, que para cilindro por unidade de comprimento é 2\pi r_{2}, e do coeficiente h.
A resistência total por unidade de comprimento é
R(r_{2})=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)+\frac{1}{2\pi r_{2} h}.
A taxa de calor por unidade de comprimento (do fio para o ambiente) é
q'=\frac{T_{s}-T_{\infty}}{R(r_{2})},
onde T_{s} é a temperatura da superfície interna (fio) e T_{\infty} a temperatura ambiente. Como T_{s}-T_{\infty} é fixo, maximizar q' é equivalente a minimizar R(r_{2}).

Passo 3

Simplificar a expressão que vamos minimizar. Como 2\pi é constante, é conveniente multiplicar R por 2\pi e minimizar a função equivalente
f(r_{2})=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)+\frac{1}{h r_{2}}.
Minimizar f(r_{2}) em r_{2}>r_{1} é o mesmo que minimizar R(r_{2}).

Passo 4

Derivada de f(r_{2}) e condição de extremo.
Calcule a derivada de f em relação a r_{2}:
\frac{df}{dr_{2}}=\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{h}\cdot\frac{1}{r_{2}^{2}}.
Para um extremo estacionário igualamos a zero:
\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{h}\cdot\frac{1}{r_{2}^{2}}=0.
Multiplicando por r_{2}^{2} obtemos
\frac{1}{k}r_{2}=\frac{1}{h}.
Logo a solução é
r_{2}^{*}=\frac{k}{h}.
Interpretação física simples: o raio externo ótimo depende somente da razão k/h. Se \,r_{2}^{*}\le r_{1} então não convém acrescentar isolamento (o ótimo seria não isolar), mas se r_{2}^{*}>r_{1} então a espessura ótima é t^{*}=r_{2}^{*}-r_{1}.

Passo 5

Verificação do tipo de extremo (mínimo de f → mínimo de R → máximo de q').
Calcule a segunda derivada:
\frac{d^{2}f}{dr_{2}^{2}}=-\frac{1}{k}\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{2}{h}\frac{1}{r_{2}^{3}}.
Avaliada em r_{2}^{*}=\tfrac{k}{h}, essa segunda derivada é positiva (pode-se checar numericamente), o que confirma que f tem mínimo em r_{2}^{*}. Portanto R tem mínimo e q' tem máximo nessa escolha de r_{2}.

Passo 6

Aplicar os números do enunciado e calcular a espessura.
Primeiro calcule o raio interno r_{1}. O diâmetro foi dado em centímetros; convertendo para metros:
\text{diâmetro}=0,26\\ \mathrm{cm}=0,0026\\ \mathrm{m}, \qquad r_{1}=\frac{0,0026}{2}=0,0013\\ \mathrm{m}.â
O raio externo ótimo é
r_{2}^{*}=\frac{k}{h}=\frac{0,16}{10}=0,016\\ \mathrm{m}.
A espessura ótima do isolamento é
t^{*}=r_{2}^{*}-r_{1}=0,016-0,0013=0,0147\\ \mathrm{m}.
Converter para centímetros para facilitar a intuição:
t^{*}=0,0147\\ \mathrm{m}=1,47\\ \mathrm{cm}.

Resposta

0,0147 m \approx 1,47 cm

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