(2.29) Em uma haste cilíndrica de combustível de um reator nuclear, o calor é gerado internamente de acordo com a equação
em que
é a taxa local de geração de calor por unidade de volume em r;
é o raio externo e
é a taxa de geração de calor por unidade de volume na linha de centro.
Calcule a queda da temperatura a partir da linha de centro para a superfície para uma haste de diâmetro de 25 mm , que tem uma condutividade térmica de
.K, se a taxa de remoção de calor a partir da sua superfície é
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- A taxa de geração volumétrica de calor é
- Diâmetro da haste:
. Portanto o raio externo é
- Condutividade térmica:
. - A taxa de remoção de calor a partir da superfície (fluxo de calor na superfície) é
- O que se pede: a queda de temperatura da linha de centro até a superfície, ou seja
Passo 2
Qual equação usar e quais condições de contorno.
- Para condução radial estacionária em um cilindro com geração volumétrica, a equação diferencial é
onde
é a temperatura,
é a condutividade térmica e
é a geração volumétrica (já dada).
- Condições físicas:
- Simetria no eixo: o gradiente no centro é finito e por simetria
. - Na superfície
o fluxo radial de calor para fora é igual a . O fluxo radial está relacionado ao gradiente por Fourier:
- Simetria no eixo: o gradiente no centro é finito e por simetria
Passo 3
Integração da equação diferencial para obter o gradiente de temperatura.
Começamos reescrevendo a equação como
Substituindo
e integrando de
a
:
onde usei a condição no centro que anula a constante de integração. Dividindo por
obtém-se o gradiente:
Passo 4
Integração do gradiente para obter a diferença de temperatura entre centro e superfície.
A queda de temperatura da linha de centro até
é
Para
temos
Calculando a integral:
Passo 5
Determinar
usando o fluxo de superfície fornecido.
A potência por unidade de comprimento gerada dentro da seção transversal é igual à potência por unidade de comprimento removida na superfície:
Mas
também é
vezes a área de superfície por unidade de comprimento, isto é
. Calculando a integral:
Igualando com
obtemos
logo
Passo 6
Substituir
na expressão de
e simplificar.
Substituindo em
:
Esta é uma forma simples e direta para a queda de temperatura do centro à superfície quando a geração tem a forma dada e o fluxo de superfície é
.
Passo 7
Calcular numericamente usando os dados fornecidos.
Substituindo
,
e
:
Fazendo as operações: