(2.29) Em uma haste cilíndrica de combustível de um reator nuclear, o calor é gerado internamente de acordo com a equação
\dot{q}_{G}=\dot{q}_{1}\left[1-\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{2}\right]
em que \dot{q}_{G} é a taxa local de geração de calor por unidade de volume em r; r_{0} é o raio externo e \dot{q}_{1} é a taxa de geração de calor por unidade de volume na linha de centro.
Calcule a queda da temperatura a partir da linha de centro para a superfície para uma haste de diâmetro de 25 mm , que tem uma condutividade térmica de 26 \mathrm{~W} / \mathrm{m}.K, se a taxa de remoção de calor a partir da sua superfície é 1,57 \mathrm{MW} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A taxa de geração volumétrica de calor é
\dot{q}_{G}(r)=\dot{q}_{1}\left[1-\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{2}\right].
  • Diâmetro da haste: 25\\ \mathrm{mm}. Portanto o raio externo é
r_{0}= \frac{25\\ \mathrm{mm}}{2}=12{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0125\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica: k=26\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • A taxa de remoção de calor a partir da superfície (fluxo de calor na superfície) é
q''=1{,}57\\ \mathrm{MW/m^{2}}=1{,}57\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • O que se pede: a queda de temperatura da linha de centro até a superfície, ou seja
\Delta T = T(0)-T(r_{0}).

Passo 2

Qual equação usar e quais condições de contorno.
  • Para condução radial estacionária em um cilindro com geração volumétrica, a equação diferencial é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)+\frac{\dot{q}_{G}(r)}{k}=0,
onde T(r) é a temperatura, k é a condutividade térmica e \dot{q}_{G}(r) é a geração volumétrica (já dada).
  • Condições físicas:
    • Simetria no eixo: o gradiente no centro é finito e por simetria \left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=0}=0.
    • Na superfície r=r_{0} o fluxo radial de calor para fora é igual a q''. O fluxo radial está relacionado ao gradiente por Fourier:
q'' = -k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{0}}.

Passo 3

Integração da equação diferencial para obter o gradiente de temperatura.
Começamos reescrevendo a equação como
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{r\,\dot{q}_{G}(r)}{k}.
Substituindo \dot{q}_{G}(r)=\dot{q}_{1}\left[1-\left(\dfrac{r}{r_{0}}\right)^{2}\right] e integrando de 0 a r:
r\frac{dT}{dr}=-\frac{1}{k}\int_{0}^{r} r'\dot{q}_{G}(r')\,dr' =-\frac{\dot{q}_{1}}{k}\left(\frac{1}{2}r^{2}-\frac{1}{4}\frac{r^{4}}{r_{0}^{2}}\right),
onde usei a condição no centro que anula a constante de integração. Dividindo por r obtém-se o gradiente:
\frac{dT}{dr}=-\frac{\dot{q}_{1}}{k}\left(\frac{1}{2}r-\frac{1}{4}\frac{r^{3}}{r_{0}^{2}}\right).

Passo 4

Integração do gradiente para obter a diferença de temperatura entre centro e superfície.
A queda de temperatura da linha de centro até r é
T(0)-T(r)=-\int_{0}^{r}\frac{dT}{dr'}\,dr'.
Para r=r_{0} temos
\Delta T = T(0)-T(r_{0})=\int_{0}^{r_{0}}\frac{\dot{q}_{1}}{k}\left(\frac{1}{2}r-\frac{1}{4}\frac{r^{3}}{r_{0}^{2}}\right)dr.
Calculando a integral:
\Delta T=\frac{\dot{q}_{1}}{k}\left(\frac{1}{4}r_{0}^{2}-\frac{1}{16}r_{0}^{2}\right) =\frac{3\,\dot{q}_{1}\,r_{0}^{2}}{16\,k}.

Passo 5

Determinar \dot{q}_{1} usando o fluxo de superfície fornecido.
A potência por unidade de comprimento gerada dentro da seção transversal é igual à potência por unidade de comprimento removida na superfície:
Q'=\int_{0}^{r_{0}}2\pi r\,\dot{q}_{G}(r)\,dr.
Mas Q' também é q'' vezes a área de superfície por unidade de comprimento, isto é Q'=q''\cdot(2\pi r_{0}). Calculando a integral:
Q'=2\pi\dot{q}_{1}\int_{0}^{r_{0}} r\left(1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2}}\right)dr =2\pi\dot{q}_{1}\left(\frac{1}{4}r_{0}^{2}\right) =\frac{\pi}{2}\dot{q}_{1}r_{0}^{2}.
Igualando com Q'=2\pi r_{0}q'' obtemos
\frac{\pi}{2}\dot{q}_{1}r_{0}^{2}=2\pi r_{0}q'',
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\dot{q}_{1}=\frac{4\,q''}{r_{0}}.

Passo 6

Substituir \dot{q}_{1} na expressão de \Delta T e simplificar.
Substituindo em \Delta T=\dfrac{3\,\dot{q}_{1}\,r_{0}^{2}}{16\,k}:
\Delta T=\frac{3}{16k}\left(\frac{4\,q''}{r_{0}}\right)r_{0}^{2} =\frac{3\,q''\,r_{0}}{4\,k}.
Esta é uma forma simples e direta para a queda de temperatura do centro à superfície quando a geração tem a forma dada e o fluxo de superfície é q''.

Passo 7

Calcular numericamente usando os dados fornecidos.
Substituindo q''=1{,}57\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^{2}}, r_{0}=0{,}0125\\ \mathrm{m} e k=26\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}:
\Delta T=\frac{3\cdot(1{,}57\times10^{6})\cdot 0{,}0125}{4\cdot 26}\\ \mathrm{K}.
Fazendo as operações:
\Delta T=\frac{58875}{104}\\ \mathrm{K}\approx 566{,}1\\ \mathrm{K}.

Resposta

566{,}1\\ \mathrm{K}

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