(2.12) A condutividade térmica de um material pode ser determinada da seguinte maneira. Vapor saturado a 2,41 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} é condensado a uma taxa de 0,68 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} dentro de uma esfera oca de ferro que tem 1,3 \mathrm{~cm} de espessura e tem um diâmetro interno de 51 cm . A esfera é revestida com o material cuja condutividade térmica deve ser avaliada. A espessura do material a ser testado é de 10 cm e existem dois termopares incorporados nele, um a 1,3 \mathrm{~cm} a partir da superfície da esfera de ferro, e outro a 1,3 \mathrm{~cm} a partir da superfície exterior do sistema. Se o termopar interior indica uma temperatura de 110^{\circ} \mathrm{C} e o termopar exterior uma temperatura de 57^{\circ} \mathrm{C}, calcule: (a) a condutividade térmica do material em torno da esfera de metal; (b) as temperaturas nas superfícies internas e externas do material de teste; (c) o coeficiente de transferência de calor total com base na superfície interna da esfera de ferro, assumindo que as resistências térmicas nas superfícies e na interface entre as duas cascas esféricas são desprezíveis.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Pressão do vapor saturado: 2,41\times10^{5}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Taxa de condensação: 0,68\\ \mathrm{kg/h}.
  • Esfera oca de ferro:
    • diâmetro interno =51\\ \mathrm{cm} (logo raio interno da casca de ferro r_{\text{int,ferro}}=0,255\\ \mathrm{m});
    • espessura da casca de ferro =1,3\\ \mathrm{cm} (logo raio externo da casca de ferro r_i = 0,255+0,013=0,268\\ \mathrm{m}).
  • Material de teste (revestimento) em volta da esfera:
    • espessura do material =10\\ \mathrm{cm} (logo raio externo total r_o = r_i + 0,10 = 0,368\\ \mathrm{m}).
  • Dois termopares incorporados no material de teste:
    • termopar interno a 1,3\\ \mathrm{cm} a partir da superfície da esfera de ferro → posição r_{t1}=r_i+0,013=0,281\\ \mathrm{m}, leitura T_{t1}=110^\circ\mathrm{C}.
    • termopar externo a 1,3\\ \mathrm{cm} a partir da superfície exterior do sistema → posição r_{t2}=r_o-0,013=0,355\\ \mathrm{m}, leitura T_{t2}=57^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) a condutividade térmica k do material em torno da esfera de metal;
(b) as temperaturas nas superfícies interna e externa do material de teste (isto é, em r=r_i e r=r_o);
(c) o coeficiente de transferência de calor total U com base na superfície interna da esfera de ferro, assumindo que as resistências térmicas nas superfícies e na interface entre as duas cascas esféricas são desprezíveis.

Passo 2

Converto a vazão de massa para unidades SI e preparo valor do calor latente do vapor (usando tabelas de vapor saturado).
  • Vazão de massa:
\dot m=\frac{0,68\\ \mathrm{kg}}{3600\\ \mathrm{s}}=0,000188888\ldots\\ \mathrm{kg/s}.
  • A pressão dada corresponde a vapor saturado; das tabelas de vapor saturado (consulta típica a tabelas de vapor) para p=2,41\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} obtém-se aproximadamente a temperatura de saturação e o calor latente. Valores usados (típicos de tabela):
T_{\text{sat}}\approx125{,}7^\circ\mathrm{C},\qquad h_{fg}\approx2{,}085\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
(estes dois números são extraídos das tabelas de vapor saturado para a pressão dada.)
Obs.: o fluxo de calor liberado pela condensação é
\dot Q=\dot m\,h_{fg}.

Passo 3

Calculo o fluxo térmico fornecido pela condensação:
\dot Q=\dot m\,h_{fg} =\left(0,000188888\ldots\right)\left(2{,}085\times10^{6}\right) =393{,}33\\ \mathrm{W}\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Revisão rápida da lei do transporte de calor por condução radial em casca esférica (aula curta e prática):
  • Em regime permanente, o fluxo radial \dot Q através de uma esfera entre raios r_a e r_b é constante e a equação resultante da Lei de Fourier na coordenada radial dá, após integração,
\dot Q = 4\pi k\,\frac{T(r_a)-T(r_b)}{\displaystyle\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}}.
Explicando: a área de transferência em raio r é A(r)=4\pi r^2. A derivada radial de temperatura é tal que o produto A(r)(-k\,dT/dr) é igual a \dot Q (constante). Integrando dT/dr\propto r^{-2} obtém-se a forma \propto 1/r e, isolando \dot Q, chega-se à expressão acima.
  • Se conhecemos \dot Q e duas temperaturas em duas superfícies esféricas (ou em dois raios quaisquer), podemos isolar k:
k=\frac{\dot Q\left(\dfrac{1}{r_a}-\dfrac{1}{r_b}\right)}{4\pi\left(T(r_a)-T(r_b)\right)}.
No nosso caso medimos T em r_{t1} e r_{t2}, logo usaremos:
k=\frac{\dot Q\left(\dfrac{1}{r_{t1}}-\dfrac{1}{r_{t2}}\right)}{4\pi\left(T_{t1}-T_{t2}\right)}.

Passo 5

Substituo valores numéricos para determinar k. Primeiro listo os raios (em metros) e temperaturas usados:
r_i=0,268\\ \mathrm{m},\quad r_o=0,368\\ \mathrm{m},
r_{t1}=0,281\\ \mathrm{m},\quad r_{t2}=0,355\\ \mathrm{m},
T_{t1}=110^\circ\mathrm{C},\quad T_{t2}=57^\circ\mathrm{C},
\dot Q=393{,}33\\ \mathrm{W}.
Agora uso a fórmula para k:
k=\frac{393{,}33\left(\dfrac{1}{0,281}-\dfrac{1}{0,355}\right)} {4\pi\left(110-57\right)}.
Faço passo-a-passo os cálculos intermediários:
\frac{1}{0,281}=3{,}558718861,\qquad \frac{1}{0,355}=2{,}816901408,
\frac{1}{r_{t1}}-\frac{1}{r_{t2}}=0{,}741817453\\ \mathrm{m^{-1}},
4\pi(110-57)=4\pi(53)=666{,}0176426.
Logo
k=\frac{393{,}33\times0{,}741817453}{666{,}0176426} =0{,}4389\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\quad(\text{aprox.}).
Interpretação: k\approx0{,}439\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.

Passo 6

Agora determino a distribuição de temperatura radial e, em particular, as temperaturas nas superfícies interna ( r=r_i) e externa ( r=r_o) do material de teste.
A forma geral da solução para T(r) é
T(r)=C+\frac{\dot Q}{4\pi k}\cdot\frac{1}{r}.
Determino a constante C usando a medida em r_{t1}:
C=T_{t1}-\frac{\dot Q}{4\pi k}\cdot\frac{1}{r_{t1}}.
Mais prático para calcular T em outro raio é usar a relação
T(r)=T_{t1}+\frac{\dot Q}{4\pi k}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{t1}}\right).
Calculo o fator \dfrac{\dot Q}{4\pi k}:
\frac{\dot Q}{4\pi k}=\frac{393{,}33}{4\pi\times0{,}4389}=71{,}35\\ \mathrm{K\cdot m}\quad(\text{aprox.}).
  • Temperatura na superfície interna do material (contato com a casca de ferro), r=r_i=0,268\\ \mathrm{m}:
T(r_i)=110+\;71{,}35\!\left(\frac{1}{0,268}-\frac{1}{0,281}\right).
Calculo:
\frac{1}{0,268}-\frac{1}{0,281}=3{,}731343284-3{,}558718861=0{,}172624423,
T(r_i)=110+71{,}35\times0{,}172624423=110+12{,}31=122{,}31^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura na superfície externa do material, r=r_o=0,368\\ \mathrm{m}:
T(r_o)=110+71{,}35\!\left(\frac{1}{0,368}-\frac{1}{0,281}\right).
Calculo:
\frac{1}{0,368}-\frac{1}{0,281}=2{,}717391304-3{,}558718861=-0{,}841327557,
T(r_o)=110+71{,}35\times(-0{,}841327557)=110-60{,}02=49{,}98^\circ\mathrm{C}.
Arredondando, as temperaturas nas superfícies são cerca de 122{,}3^\circ\mathrm{C} (interna) e 50{,}0^\circ\mathrm{C} (externa).

Passo 7

Finalmente, calculo o coeficiente de transferência de calor total U com base na superfície interna da esfera de ferro.
Definição prática (quando se usa a área interna de referência):
\dot Q = U\,A_i\,(T_{\text{sat}}-T(r_o)),
onde A_i é a área da superfície interna de referência (a área externa da casca de ferro, raio r_i), e T(r_o) é a temperatura da superfície externa do sistema (que acabamos de calcular). Como o enunciado diz para desprezar resistências de superfície e interface, assumimos que a temperatura do vapor condensando é T_{\text{sat}} e que a superfície interna do material está a temperatura igual ao metal; portanto a diferença enter fontes e isto está contido na expressão acima.
A área interna de referência:
A_i=4\pi r_i^2=4\pi(0,268)^2=0{,}9029\\ \mathrm{m^2}\quad(\text{aprox.}).
A diferença de temperatura usada:
\Delta T = T_{\text{sat}}-T(r_o)=125{,}7-49{,}98=75{,}72^\circ\mathrm{C}.
Logo
U=\frac{\dot Q}{A_i\,\Delta T} =\frac{393{,}33}{0{,}9029\times75{,}72} =5{,}75\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\quad(\text{aprox.}).
Interpretação: este U é o coeficiente global de transferência de calor referido à área interna da casca de ferro que relaciona a potência \dot Q e a diferença entre a temperatura do vapor saturado e a temperatura da superfície externa do sistema.

Resposta

(a) k=0{,}439\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
(b) Temperatura na superfície interna do material (em contato com a casca de ferro): T(r_i)=122{,}3^\circ\mathrm{C}
Temperatura na superfície externa do material (superfície externa do sistema): T(r_o)=50{,}0^\circ\mathrm{C}
(c) Coeficiente total global com base na superfície interna da esfera de ferro: U=5{,}75\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}

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