(2.6) Vapor tendo uma qualidade de 98 \% a uma pressão de 1,37 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} está fluindo a uma velocidade de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} por um tubo de aço com 2,7 \mathrm{~cm} de diâmetro externo e 2,1 \mathrm{~cm} de diâmetro interno. O coeficiente de transferência de calor na superfície interna, onde ocorre a condensação é 567 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Uma película de sujeira na superfície interna adiciona uma resistência térmica unitária de 0,18 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~K} / \mathrm{W}. Estime a taxa de perda de calor por metro de comprimento da tubulação se (a) o tubo não é isolado, (b) o tubo é coberto com uma camada de 5 cm de isolamento de magnésia 85 \%. Para ambos os casos, considere que o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa é de 11 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e que a temperatura do ambiente é de 21^{\circ} \mathrm{C}. Estime também a qualidade do vapor após um comprimento de 3 m de tubo em ambos os casos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que precisa ser encontrado. (Peguei todos os números do enunciado.)
Dados fornecidos:
  • Qualidade inicial do vapor: x_1 = 0{,}98.
  • Pressão do vapor: p = 1{,}37\times10^{5}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Velocidade do escoamento: v = 1\\ \mathrm{m/s}.
  • Diâmetros do tubo de aço:
    • diâmetro interno: d_i = 2{,}1\\ \mathrm{cm} = 0{,}021\\ \mathrm{m}.
    • diâmetro externo: d_o = 2{,}7\\ \mathrm{cm} = 0{,}027\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de transferência de calor na superfície interna (onde ocorre a condensação): h_i = 567\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Resistência térmica unitária da película de sujeira (fouling), aplicada na superfície interna: R_f = 0{,}18\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa: h_o = 11\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  • Temperatura ambiente: T_\infty = 21^\circ\mathrm{C}.
  • Espessura de isolamento no caso (b): t_{\mathrm{ins}} = 5\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m} (colocado externamente).
  • Comprimento para avaliar mudança de qualidade: L = 3\\ \mathrm{m}.
Itens que o enunciado pede:
  • (a) Taxa de perda de calor por metro de comprimento do tubo quando o tubo não é isolado.
  • (b) Taxa de perda de calor por metro de comprimento quando o tubo é coberto com 5\\ \mathrm{cm} de isolamento de magnésia 85\%.
  • Para ambos (a) e (b): estimar a qualidade do vapor após um comprimento de 3\\ \mathrm{m}.
Observações / suposições necessárias (não fornecidas no enunciado):
  • Para poder calcular propriedades termodinâmicas do vapor saturado e da água saturada, e para as resistências do material, vou usar aproximações razoáveis e valores típicos:
    • Temperatura de saturação do vapor a p = 1{,}37\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}: vou tomar T_{sat}\approx105^\circ\mathrm{C} (valor aproximado de tabela de vapor para essa pressão).
    • Calor latente de vaporização (entalpia de vaporização) na pressão dada: h_{fg}\approx2{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg} (aproximação típica próxima de 100–120 °C).
    • Para estimar a densidade do vapor saturado uso a aproximação do gás ideal com R_{\text{vapor}}=461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e T_{sat}=105^\circ\mathrm{C}=378\\ \mathrm{K}: \rho_g \approx \frac{p}{R_{\text{vapor}}T_{sat}}.
    • Condutividade térmica do aço do tubo (valor típico): k_{\text{steel}} = 45\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Condutividade térmica do isolamento de magnésia 85%: vou usar k_{\text{ins}} = 0{,}08\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (valor típico para materiais isolantes porosos à base de magnésia; se o material for diferente, o resultado muda).
  • Essas suposições serão usadas explicitamente nos cálculos. Os resultados serão estimativas sensatas dada a informação disponível.

Passo 2

Escolha do método e fórmulas que vamos usar — explicação detalhada e didática (sem pular etapas).
Estratégia geral:
  • A taxa de perda de calor por unidade de comprimento (por metro) do tubo é obtida como \dot{q}' = \frac{\Delta T}{R'_{\text{total}}},onde \Delta T = T_{sat}-T_\infty é a diferença entre temperatura do vapor saturado (supomos que a superfície interna está à temperatura de saturação) e o ambiente, e R'_{\text{total}} é a resistência térmica total por unidade de comprimento (unidade \mathrm{K/W} por metro).
  • As resistências térmicas em série (por unidade de comprimento) são:
    • resistência convectiva interna (superfície interna do tubo): R'_{i} = \frac{1}{h_i \,\pi d_i}.Explicação: a resistência convectiva por unidade de área é 1/h_i. Em geometria cilíndrica por unidade de comprimento a área interna vale A'_i=\pi d_i (m^2 por metro), então divide-se por essa área.
    • resistência de incrustação (fouling) dada por unidade de área R_f: como R_f está em \mathrm{m^2K/W}, por unidade de comprimento a resistência é R'_{f} = \frac{R_f}{\pi d_i}.Explicação: novamente divide-se pela área por metro \pi d_i.
    • resistência por condução através da parede cilíndrica do tubo (entre diâmetros d_i e d_o): R'_{\text{cond,steel}} = \frac{\ln\!\bigl(d_o/d_i\bigr)}{2\pi k_{\text{steel}}}.Explicação: fórmula padrão de condução em cascas cilíndricas por unidade de comprimento.
    • resistência do isolamento (aplicável só no caso (b)) — também condução cilíndrica entre raio r_1=d_o/2 e r_2 = r_1 + t_{\mathrm{ins}}: R'_{\text{ins}} = \frac{\ln\!\bigl(r_2/r_1\bigr)}{2\pi k_{\text{ins}}}.
    • resistência convectiva externa, sobre a superfície externa disponível ao ar: se não há isolamento, é sobre d_o; se há isolamento, é sobre o diâmetro externo do isolamento d_{ins}=2r_2: R'_{o} = \frac{1}{h_o\,\pi d_{\text{externa}}},onde d_{\text{externa}} = d_o (caso a) ou d_{\text{externa}} = 2r_2 (caso b).
  • Soma das resistências por unidade de comprimento: R'_{\text{total}} = R'_{i} + R'_{f} + R'_{\text{cond,steel}} + \bigl(\text{se aplicável } R'_{\text{ins}}\bigr) + R'_{o}.á
  • Após encontrar \dot{q}' (W por metro), a perda de calor em um comprimento L é \dot{Q} = \dot{q}'\cdot L (W).
  • A massa de vapor que se condensa por segundo (taxa de condensação) é \dot{m}_{\text{cond}} = \dfrac{\dot{Q}}{h_{fg}}.
  • A vazão mássica de fluido no tubo é estimada por \dot{m} = \rho_{\text{mist}}\, v\, A,onde A = \dfrac{\pi d_i^2}{4} é a área da seção interna e \rho_{\text{mist}} é a densidade média da mistura. Explicação didática: para qualidade alta ( x_1=0{,}98) a fração volumétrica será dominada pelo vapor; portanto a velocidade do escoamento e a densidade da mistura podem ser aproximadas usando a densidade do vapor saturado \rho_g (ou, de forma mais formal, a densidade média obtida por 1/(xv_g+(1-x)v_f); aqui usamos aproximação prática).
  • A nova qualidade após comprimento L é x_2 = x_1 - \frac{\dot{m}_{\text{cond}}}{\dot{m}}.Explicação: a redução de qualidade por unidade de tempo é a razão entre a massa condensada por segundo e a vazão mássica que entra; subtrai-se isso da qualidade inicial.
Nos próximos passos aplico essas fórmulas numericamente, mostrando cada conta com calma.

Passo 3

Cálculos preliminares e computação da densidade do vapor e da área interna.
  1. Área da seção interna (por metro de comprimento consideramos a área por unidade de comprimento quando for o caso; aqui precisamos da área transversal para a vazão mássica):
A = \frac{\pi d_i^2}{4} = \frac{\pi (0{,}021)^2}{4}.
Calculemos:
d_i^2 = (0{,}021)^2 = 0{,}000441,
A = \frac{\pi\cdot0{,}000441}{4} \approx 3{,}464\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Estimativa da densidade do vapor saturado usando a aproximação do gás ideal:
\rho_g \approx \frac{p}{R_{\text{vapor}} T_{sat}}.
Substituindo p=1{,}37\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, R_{\text{vapor}}=461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T_{sat}=378\\ \mathrm{K}:
\rho_g \approx \frac{1{,}37\times10^{5}}{461{,}5\cdot378}\approx 0{,}785\\ \mathrm{kg/m^3}.
Comentário: isto é uma boa aproximação para vapor saturado a essa pressão; a diferença para valores de tabela reais é pequena para o uso aqui.
  1. Vazão mássica aproximada (assumindo mistura com densidade próxima de \rho_g porque x_1 é alta):
\dot{m} \approx \rho_g\,v\,A = 0{,}785\cdot 1\cdot 3{,}464\times10^{-4}
\dot{m} \approx 2{,}72\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Cálculo das resistências por unidade de comprimento e da perda de calor por metro — caso (a): tubo sem isolamento.
Primeiro calcule as resistências individuais:
  1. Resistência convectiva interna por metro:
R'_i = \frac{1}{h_i\pi d_i} = \frac{1}{567\cdot\pi\cdot0{,}021}.
Calculemos:
h_i\pi d_i = 567\cdot\pi\cdot0{,}021 \approx 37{,}42,
R'_i \approx 0{,}0267\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.
  1. Resistência de fouling por metro (que é grande):
R'_f = \frac{R_f}{\pi d_i} = \frac{0{,}18}{\pi\cdot0{,}021}.
Calculemos:
\pi d_i \approx 0{,}06597,\quad R'_f \approx \frac{0{,}18}{0{,}06597}\approx 2{,}729\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.
  1. Resistência por condução na parede de aço (por metro):
R'_{\text{cond,steel}} = \frac{\ln(d_o/d_i)}{2\pi k_{\text{steel}}} = \frac{\ln(0{,}027/0{,}021)}{2\pi\cdot45}.
Calculemos:
\ln(0{,}027/0{,}021)=\ln(1{,}2857)\approx0{,}2513,
2\pi k_{\text{steel}} = 2\pi\cdot45 \approx 282{,}74,
R'_{\text{cond,steel}} \approx \frac{0{,}2513}{282{,}74}\approx 0{,}000889\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.
  1. Resistência convectiva externa (sem isolamento) por metro:
R'_o = \frac{1}{h_o\pi d_o} = \frac{1}{11\cdot\pi\cdot0{,}027}.
Calculemos:
11\cdot\pi\cdot0{,}027 \approx 0{,}9331,
R'_o \approx 1{,}0716\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.
Agora a resistência total por metro (caso a):
R'_{\text{tot,a}} = R'_i + R'_f + R'_{\text{cond,steel}} + R'_o.
Substituindo:
R'_{\text{tot,a}} \approx 0{,}0267 + 2{,}729 + 0{,}000889 + 1{,}0716 \approx 3{,}8282\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.
Diferença de temperatura usada:
\Delta T = T_{sat}-T_\infty \approx 105^\circ\mathrm{C}-21^\circ\mathrm{C}=84\\ \mathrm{K}.
Taxa de perda de calor por metro (caso a):
\dot{q}'_{\text{(a)}} = \frac{\Delta T}{R'_{\text{tot,a}}} = \frac{84}{3{,}8282}\approx 21{,}94\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Cálculo das mesmas grandezas — caso (b): tubo com 5\\ \mathrm{cm} de isolamento de magnésia 85\%.
  1. Radialmente:
  • raio externo do tubo: r_1 = d_o/2 = 0{,}027/2 = 0{,}0135\\ \mathrm{m}.
  • raio externo do isolamento: r_2 = r_1 + t_{\mathrm{ins}} = 0{,}0135 + 0{,}05 = 0{,}0635\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro externo do isolamento: d_{\text{ins}} = 2r_2 = 0{,}127\\ \mathrm{m}.
  1. Resistência do isolamento (condução cilíndrica):
R'_{\text{ins}} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_{\text{ins}}} = \frac{\ln(0{,}0635/0{,}0135)}{2\pi\cdot0{,}08}.
Calculemos:
\ln(0{,}0635/0{,}0135) = \ln(4{,}7037)\approx 1{,}549,
2\pi k_{\text{ins}} = 2\pi\cdot0{,}08 \approx 0{,}50265,
R'_{\text{ins}} \approx \frac{1{,}549}{0{,}50265} \approx 3{,}081\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.
  1. Resistência convectiva externa agora sobre o diâmetro do isolamento:
R'_o = \frac{1}{h_o\pi d_{\text{ins}}} = \frac{1}{11\cdot\pi\cdot0{,}127}.
Calculemos:
11\cdot\pi\cdot0{,}127 \approx 4{,}389,
R'_o \approx 0{,}2279\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.
  1. As demais resistências internas e da parede do tubo são as mesmas do caso (a):
R'_i \approx 0{,}0267,\quad R'_f \approx 2{,}729,\quad R'_{\text{cond,steel}} \approx 0{,}000889.
  1. Resistência total por metro (caso b):
R'_{\text{tot,b}} = R'_i + R'_f + R'_{\text{cond,steel}} + R'_{\text{ins}} + R'_o.
Substituindo:
R'_{\text{tot,b}} \approx 0{,}0267 + 2{,}729 + 0{,}000889 + 3{,}081 + 0{,}2279 \approx 6{,}0655\\ \mathrm{K/W\\ (por\\ m)}.
  1. Taxa de perda de calor por metro (caso b):
\dot{q}'_{\text{(b)}} = \frac{\Delta T}{R'_{\text{tot,b}}} = \frac{84}{6{,}0655}\approx 13{,}85\\ \mathrm{W/m}.
Comentário didático: note que a resistência de fouling R'_f é muito grande (cerca de 2{,}73\\ \mathrm{K/W/m}) e domina o circuito térmico; por isso a adição de isolamento reduz a perda, mas não de forma dramática neste caso — a sujeira interna limita bastante o fluxo de calor.

Passo 6

Cálculo da variação de qualidade após L=3\\ \mathrm{m}, para os dois casos.
  1. Potência total perdida em L=3\\ \mathrm{m} (caso a):
\dot{Q}_{\text{(a)}} = \dot{q}'_{\text{(a)}}\cdot L = 21{,}94\cdot 3 \approx 65{,}82\\ \mathrm{W}.
Massa condensada por segundo:
\dot{m}_{\text{cond,(a)}} = \frac{\dot{Q}_{\text{(a)}}}{h_{fg}} = \frac{65{,}82}{2{,}2\times10^{6}} \approx 2{,}99\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}.
Redução de qualidade (fração mássica condensada sobre a vazão mássica):
\Delta x_{\text{(a)}} = \frac{\dot{m}_{\text{cond,(a)}}}{\dot{m}} \approx \frac{2{,}99\times10^{-5}}{2{,}72\times10^{-4}} \approx 0{,}110.
Qualidade após 3\\ \mathrm{m} (caso a):
x_{2,\text{(a)}} = x_1 - \Delta x_{\text{(a)}} \approx 0{,}98 - 0{,}110 \approx 0{,}87.
  1. Caso (b): potência total perdida em L=3\\ \mathrm{m}:
\dot{Q}_{\text{(b)}} = \dot{q}'_{\text{(b)}}\cdot L = 13{,}85\cdot 3 \approx 41{,}55\\ \mathrm{W}.
Massa condensada por segundo:
\dot{m}_{\text{cond,(b)}} = \frac{41{,}55}{2{,}2\times10^{6}} \approx 1{,}89\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}.
Redução de qualidade:
\Delta x_{\text{(b)}} = \frac{1{,}89\times10^{-5}}{2{,}72\times10^{-4}} \approx 0{,}0694.
Qualidade após 3\\ \mathrm{m} (caso b):
x_{2,\text{(b)}} = 0{,}98 - 0{,}0694 \approx 0{,}9106 \approx 0{,}91.

Passo 7

Resumo interpretativo e checagem de ordens de grandeza (ensinar para a prova):
  • A resistência de fouling interna (aquela R_f = 0{,}18\\ \mathrm{m^2K/W}) é muito grande comparada às outras resistências; isso é comum: uma fina camada de sujeira pode cortar muito a transferência de calor. Por isso, em problemas de engenharia prática é sempre importante avaliar limpeza ou manutenção.
  • A condução através da parede de aço é quase desprezível (a parede é fina e o aço é condutor).
  • O isolamento externo ajuda, mas se a resistência interna for dominante, seu efeito fica limitado.
  • Na hora da prova: sempre escreva as resistências por unidade de comprimento (usar \pi d para área por metro), converta a resistência de fouling por área para por metro dividindo por \pi d_i, e some em série. Calcule \dot{q}'=\Delta T/R'. Depois obtenha massa condensada como \dot{Q}/h_{fg} e atualize a qualidade com x_2 = x_1 - \dot{m}_{cond}/\dot{m}.

Resposta

(a) \dot{q}'_{\text{(a)}} \approx 21{,}9\\ \mathrm{W/m} \
(b) \dot{q}'_{\text{(b)}} \approx 13{,}9\\ \mathrm{W/m} \
Qualidade após 3\\ \mathrm{m}, caso (a): x_{2,\text{(a)}} \approx 0{,}87 \
Qualidade após 3\\ \mathrm{m}, caso (b): x_{2,\text{(b)}} \approx 0{,}91

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