14_ Um barco a vela em repouso de massa \mathrm{m}=1, é posto em movimento impulsionado pela força do vento que é proporcional à diferença de velocidade do vento \mathrm{V} \mathrm{km} / \mathrm{h} e do barco, \mathrm{v} \mathrm{km} / \mathrm{h}, sendo \mathrm{k}=2 / 3 a constante de proporcionalidade. A resistência que a água oferece ao movimento é proporcional a velocidade do barco com constante de proporcionalidade \mathrm{r}=1 / 3
Qual deve ser a velocidade constante V do vento, para que o barco atinja a velocidade máxima limite de 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma velocidade do vento:
  • Massa do barco: m=1.
  • Velocidade do vento (constante) é V (em \mathrm{km}/\mathrm{h}), que queremos determinar.
  • Velocidade do barco no instante t é v(t) (em \mathrm{km}/\mathrm{h}).
  • Força do vento sobre o barco é proporcional à diferença de velocidades V-v com constante de proporcionalidade k=\tfrac{2}{3}. Ou seja, força do vento é proporcional a V-v.
  • Resistência da água é proporcional à velocidade do barco v com constante r=\tfrac{1}{3}.
  • Queremos que a velocidade limite (velocidade máxima quando o movimento atingir equilíbrio) seja \,50\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
    Pergunta: Qual deve ser o valor de V (velocidade do vento) para que a velocidade limite do barco seja 50\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}?

Passo 2

Modelagem das forças (explicando bem devagar):
  • Chamo de F_{\text{vento}} a força que puxa o barco para frente. Como é proporcional a V-v e a constante é k, escrevo
F_{\text{vento}} = k\,(V - v).
Aqui k é uma constante que traduz quão eficaz é o vento em empurrar o barco; se v se aproxima de V a contribuição diminui.
  • Chamo de F_{\text{água}}á a força de resistência da água, proporcional a v com constante r:
F_{\text{água}} = r\,v.á
Essa força sempre age para reduzir a velocidade do barco.

Passo 3

Usando a segunda lei de Newton em forma simplificada (explicando o que estou usando):
  • A equação de movimento diz que massa vezes aceleração (derivada da velocidade) é igual à soma das forças (assumindo movimento em uma direção, sinais combinados). Assim
m\,\frac{dv}{dt} = F_{\text{vento}} - F_{\text{água}}.á
Aqui \frac{dv}{dt} é a taxa de variação da velocidade no tempo (aceleração), m é a massa do barco.

Passo 4

Substituo as expressões das forças na equação:
m\,\frac{dv}{dt} = k(V-v) - r v.
Agora explico cada termo: o primeiro termo kV é a parte que depende da velocidade do vento, e os termos em v juntam as forças que dependem da velocidade do barco (uma que reduz o efeito do vento e a resistência da água).

Passo 5

Simplifico a equação usando m=1 (o enunciado deu isso):
\frac{dv}{dt} = kV - (k+r)\,v.
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem para v(t). Para entender a velocidade limite (quando o tempo tende a infinito e o sistema atinge equilíbrio), procuramos a velocidade estacionária v_\infty tal que a aceleração seja zero, ou seja \frac{dv}{dt}=0. Isso corresponde ao ponto onde as forças se equilibram.

Passo 6

Coloco \frac{dv}{dt}=0 na equação para achar v_\infty:
0 = kV - (k+r)\,v_\infty.
Resolvendo para v_\infty obtenho a fórmula geral do equilíbrio:
v_\infty = \frac{kV}{k+r}.
Explicação: quando as forças se igualam, a parte que puxa (proporcional a kV) é exatamente compensada pela soma das resistências efetivas (k+r)\,v.

Passo 7

Agora substituo os valores numéricos dados: k=\tfrac{2}{3} e r=\tfrac{1}{3}. Primeiro calculemos k+r:
k+r = \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3} = 1.
Com isso a expressão para v_\infty fica muito simples:
v_\infty = \frac{kV}{k+r} = \frac{\tfrac{2}{3}\,V}{1} = \tfrac{2}{3}\,V.

Passo 8

Queremos que v_\infty = 50. Então impondo isso:
50 = \tfrac{2}{3}\,V.
Agora isolamos V:
V = 50 \cdot \frac{3}{2}.
Faço a conta passo a passo: 50\cdot 3 = 150 e 150/2 = 75. Portanto
V = 75.

Passo 9

Cheque rápido (para ter certeza): com V=75 temos v_\infty = \tfrac{2}{3}\cdot 75 = 50, que é exatamente o desejado. Boa — bate certinho!

Resposta

V = 75\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}

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