14_ Um barco a vela em repouso de massa
, é posto em movimento impulsionado pela força do vento que é proporcional à diferença de velocidade do vento
e do barco,
, sendo
a constante de proporcionalidade. A resistência que a água oferece ao movimento é proporcional a velocidade do barco com constante de proporcionalidade
Qual deve ser a velocidade constante V do vento, para que o barco atinja a velocidade máxima limite de
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma velocidade do vento:
- Massa do barco:
. - Velocidade do vento (constante) é
(em ), que queremos determinar. - Velocidade do barco no instante
é (em ). - Força do vento sobre o barco é proporcional à diferença de velocidades
com constante de proporcionalidade . Ou seja, força do vento é proporcional a . - Resistência da água é proporcional à velocidade do barco
com constante . - Queremos que a velocidade limite (velocidade máxima quando o movimento atingir equilíbrio) seja
.
Pergunta: Qual deve ser o valor de(velocidade do vento) para que a velocidade limite do barco seja ?
Passo 2
Modelagem das forças (explicando bem devagar):
- Chamo de
a força que puxa o barco para frente. Como é proporcional a e a constante é , escrevo
Aqui
é uma constante que traduz quão eficaz é o vento em empurrar o barco; se
se aproxima de
a contribuição diminui.
- Chamo de
a força de resistência da água, proporcional a com constante :
Essa força sempre age para reduzir a velocidade do barco.
Passo 3
Usando a segunda lei de Newton em forma simplificada (explicando o que estou usando):
- A equação de movimento diz que massa vezes aceleração (derivada da velocidade) é igual à soma das forças (assumindo movimento em uma direção, sinais combinados). Assim
Aqui
é a taxa de variação da velocidade no tempo (aceleração),
é a massa do barco.
Passo 4
Substituo as expressões das forças na equação:
Agora explico cada termo: o primeiro termo
é a parte que depende da velocidade do vento, e os termos em
juntam as forças que dependem da velocidade do barco (uma que reduz o efeito do vento e a resistência da água).
Passo 5
Simplifico a equação usando
(o enunciado deu isso):
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. Para entender a velocidade limite (quando o tempo tende a infinito e o sistema atinge equilíbrio), procuramos a velocidade estacionária
tal que a aceleração seja zero, ou seja
. Isso corresponde ao ponto onde as forças se equilibram.
Passo 6
Coloco
na equação para achar
:
Resolvendo para
obtenho a fórmula geral do equilíbrio:
Explicação: quando as forças se igualam, a parte que puxa (proporcional a
) é exatamente compensada pela soma das resistências efetivas
.
Passo 7
Agora substituo os valores numéricos dados:
e
. Primeiro calculemos
:
Com isso a expressão para
fica muito simples:
Passo 8
Queremos que
. Então impondo isso:
Agora isolamos
:
Faço a conta passo a passo:
e
. Portanto
Passo 9
Cheque rápido (para ter certeza): com
temos
, que é exatamente o desejado. Boa — bate certinho!