15_ Em uma comunidade de 100 pessoas, inicialmente, existe 1 pessoa infectada com um vírus. A velocidade de propagação do vírus é proporcional a k vezes o número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. Após 1 dia, ¼ da comunidade está contaminada.
(a) Após 2 dias, quantas pessoas estarão contaminadas?
(b) Se \mathrm{p}(\mathrm{t}) é o número de pessoas contaminadas no instante t , determine \lim _{t \rightarrow \infty} p(t) \mathrm{p}(\mathrm{t}).
(c) Desenhe o gráfico de p(t).

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá alguns dados. Vou listar claramente o que está sendo pedido e todas as informações que o enunciado fornece.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Após 2 dias, quantas pessoas estarão contaminadas?
    (b) Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty} p(t), onde p(t) é o número de pessoas contaminadas no instante t.
    (c) Desenhar o gráfico de p(t).
  • Dados fornecidos:
    • Tamanho da comunidade: \,100 pessoas (constante total). Vou chamar essa capacidade total de N=100.
    • Inicialmente, há \,1 pessoa infectada: \,p(0)=1.
    • A taxa de propagação é proporcional a k vezes o número de infectados vezes o número de não infectados, ou seja: \frac{dp}{dt} = k\, p(t)\bigl(N - p(t)\bigr).
    • Após 1 dia, está contaminada 1/4 da comunidade, isto é: p(1)=\frac{1}{4}\cdot 100 = 25.
Estas são todas as informações relevantes. A partir daqui vou resolver passo a passo.

Passo 2

Identificar e preparar a equação diferencial que modela o problema.
  • A equação diferencial dada é
    \frac{dp}{dt} = k\, p (N - p),
    com N=100.
  • Esta equação é a equação logística clássica. Ela descreve crescimento onde a taxa é proporcional ao produto entre os infectados p e os não infectados N-p. Intuitivamente: quanto mais infectados e quanto mais suscetíveis houver, mais rápido cresce a infecção — mas quando p se aproxima de N o termo N-p diminui e o crescimento desacelera.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (passo a passo bem didático).
  • Reescrevemos a equação separando p e t:
    \frac{1}{p(N-p)}\,dp = k\,dt.
  • Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Observação útil:
    \frac{1}{p(N-p)}=\frac{1}{N}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{N-p}\right).
    Verificação rápida: \frac{1}{p}+\frac{1}{N-p}=\frac{N}{p(N-p)}, logo dividindo por N dá a expressão necessária.
  • Integrando ambos os lados:
    \int \frac{1}{p(N-p)}\,dp = \int k\,dt
\int \frac{1}{N}\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{N-p}\right)dp = kt + C.
  • Efetuando as integrais:
    \frac{1}{N}\bigl(\ln|p| - \ln|N-p|\bigr) = kt + C.
    (Repare que ao integrar 1/(N-p) aparece um sinal negativo, por isso o sinal de menos entre os logaritmos.)
  • Multiplicando por N e combinando o logaritmo:
    \ln\!\left(\frac{p}{N-p}\right) = kNt + C_1,
    onde C_1 = N C é uma constante arbitrária.

Passo 4

Isolar p(t) na forma explícita (solução logística) e interpretar constantes.
  • Exponenciando:
    \frac{p}{N-p} = C e^{kNt},
    onde C=e^{C_1} é constante positiva (já que p>0 inicialmente).
  • Resolver para p:
    p = (N-p)\,C e^{kNt} \implies p\bigl(1 + C e^{kNt}\bigr)= N C e^{kNt}
p(t) = \frac{N C e^{kNt}}{1 + C e^{kNt}} = \frac{N}{1 + \dfrac{1}{C} e^{-kNt}}.
  • Para ficar mais simples, reescrevemos como p(t)=\frac{N}{1 + A e^{-kNt}},onde A=\dfrac{1}{C} é outra constante positiva que vamos determinar com as condições iniciais.

Passo 5

Determinar a constante A usando p(0)=1.
  • Em t=0: p(0)=\frac{N}{1 + A e^{0}}=\frac{N}{1 + A}=1.
  • Substituindo N=100: \frac{100}{1 + A}=1 \implies 1 + A = 100 \implies A = 99.
  • Portanto a solução específica é p(t)=\frac{100}{1 + 99 e^{-100k t}}.

Passo 6

Determinar k usando p(1)=25.
  • Substituir t=1 e p(1)=25 na solução:
    25 = \frac{100}{1 + 99 e^{-100k}}.
  • Inverter:
    1 + 99 e^{-100k} = \frac{100}{25} = 4.
  • Assim:
    99 e^{-100k} = 3 \implies e^{-100k} = \frac{3}{99} = \frac{1}{33}.
  • Tomando logaritmo natural:
    -100k = \ln\!\left(\frac{1}{33}\right) = -\ln 33 \implies k = \frac{\ln 33}{100}.
  • Comentário: k é positivo, como esperado, e foi encontrado diretamente a partir da condição em t=1.

Passo 7

Calcular p(2) (parte (a)) com k encontrado — faça passo a passo as contas sem pular.
  • Usamos a fórmula geral com A=99:
    p(2)=\frac{100}{1 + 99 e^{-100k\cdot 2}}.
  • Sabemos de Passo 6 que e^{-100k}=\dfrac{1}{33}. Então
    e^{-200k} = \bigl(e^{-100k}\bigr)^2 = \left(\frac{1}{33}\right)^2 = \frac{1}{1089}.
  • Substituir:
    p(2)=\frac{100}{1 + 99\cdot\frac{1}{1089}} = \frac{100}{1 + \frac{99}{1089}}.
  • Simplificar a fração \dfrac{99}{1089}: dividindo numerador e denominador por 9 \dfrac{11}{121}.
    1 + \frac{11}{121} = \frac{121 + 11}{121} = \frac{132}{121}.
  • Logo
    p(2)=100\cdot\frac{121}{132} = \frac{100\cdot 121}{132}.
  • Simplificando: 132=3\cdot 44=3\cdot4\cdot11. Também 100\cdot121=100\cdot11\cdot11. Cancelando um fator 11:
    p(2)=\frac{100\cdot 11}{12} = \frac{1100}{12} = \frac{550}{6} = \frac{275}{3}.
  • Em forma decimal \dfrac{275}{3}\approx 91{,}666\ldots.
  • Interpretação rápida: o modelo contínuo prevê cerca de 91{,}67 pessoas infectadas após 2 dias (visto que crescimento é muito rápido quando ainda há muitos não infectados).

Passo 8

Calcular o limite quando t\to\infty (parte (b)) — explique por que isso acontece.
  • A expressão de p(t) é p(t)=\frac{100}{1 + 99 e^{-100k t}}.
  • Como k>0, temos e^{-100k t}\to 0 quando t\to\infty. Portanto o denominador tende a 1+99\cdot 0 = 1.
  • Assim \lim_{t\to\infty} p(t) = \frac{100}{1} = 100.
  • Interpretação: a infecção, no modelo, acaba por infectar toda a população (a capacidade/assíntota é N=100). Na prática, isso significa que o número de infectados tende a 100 (assíntoticamente).

Passo 9

Descrever o gráfico de p(t) (parte (c)) e indicar pontos importantes para esboçar a curva.
  • Tipo de curva: p(t) é uma curva logística (forma S) — cresce lentamente no começo, depois cresce rápido na fase intermediária e finalmente desacelera quando se aproxima da assíntota horizontal.
  • Assíntota horizontal: p(t)\to 100 quando t\to\infty. Então a linha p=100 é uma assíntota superior.
  • Valores e pontos a marcar no esboço:
    • p(0)=1 (ponto inicial).
    • p(1)=25 (dado do enunciado).
    • p(2)=\dfrac{275}{3}\approx 91{,}67.
  • Monotonicidade: \dfrac{dp}{dt}=k p(N-p) é positiva enquanto 0<p<100, logo p(t) é estritamente crescente.
  • Ponto de inflexão: ocorre quando p=\dfrac{N}{2}=50. Podemos localizar aproximadamente o tempo do ponto de inflexão resolvendo 50 = \dfrac{100}{1 + 99 e^{-100k t}}. Isso leva a 99 e^{-100k t}=1, ou e^{-100k t}=1/99. Usando e^{-100k}=1/33, obtemos t_{\text{infl}} = \frac{\ln 99}{\ln 33} \approx 1{,}314.Ou seja, o ponto de inflexão está um pouco depois de t=1. Antes do ponto de inflexão a curva é côncava para cima; depois, côncava para baixo.
  • Esboço (direção para desenhar): comece em t=0 com p=1, passe por (1,25), suba rapidamente atravessando p=50 por volta de t\approx 1{,}314, chegue em t=2 perto de 91{,}67 e depois aproxime-se horizontalmente de p=100 sem nunca ultrapassar (assíntota).

Resposta

(a) \displaystyle p(2)=\frac{275}{3}
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty} p(t)=100
(c) Curva logística crescente em S, com assíntota horizontal p=100; pontos importantes: (0,1), (1,25), (2,\tfrac{275}{3}) e ponto de inflexão em t\approx 1{,}314.

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