15_ Em uma comunidade de 100 pessoas, inicialmente, existe 1 pessoa infectada com um vírus. A velocidade de propagação do vírus é proporcional a
vezes o número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. Após 1 dia, ¼ da comunidade está contaminada.
(a) Após 2 dias, quantas pessoas estarão contaminadas?
(b) Se
é o número de pessoas contaminadas no instante t , determine
.
(c) Desenhe o gráfico de
.
(a) Após 2 dias, quantas pessoas estarão contaminadas?
(b) Se
(c) Desenhe o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá alguns dados. Vou listar claramente o que está sendo pedido e todas as informações que o enunciado fornece.
-
Perguntas do enunciado:
(a) Após 2 dias, quantas pessoas estarão contaminadas?
(b) Calcular, onde é o número de pessoas contaminadas no instante .
(c) Desenhar o gráfico de. -
Dados fornecidos:
- Tamanho da comunidade:
pessoas (constante total). Vou chamar essa capacidade total de . - Inicialmente, há
pessoa infectada: . - A taxa de propagação é proporcional a
vezes o número de infectados vezes o número de não infectados, ou seja: - Após
dia, está contaminada da comunidade, isto é:
- Tamanho da comunidade:
Estas são todas as informações relevantes. A partir daqui vou resolver passo a passo.
Passo 2
Identificar e preparar a equação diferencial que modela o problema.
-
A equação diferencial dada écom
. -
Esta equação é a equação logística clássica. Ela descreve crescimento onde a taxa é proporcional ao produto entre os infectados
e os não infectados . Intuitivamente: quanto mais infectados e quanto mais suscetíveis houver, mais rápido cresce a infecção — mas quando se aproxima de o termo diminui e o crescimento desacelera.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (passo a passo bem didático).
-
Reescrevemos a equação separando
e : -
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Observação útil:Verificação rápida:
, logo dividindo por dá a expressão necessária. -
Integrando ambos os lados:
-
Efetuando as integrais:(Repare que ao integrar
aparece um sinal negativo, por isso o sinal de menos entre os logaritmos.) -
Multiplicando por
e combinando o logaritmo: ondeé uma constante arbitrária.
Passo 4
Isolar
na forma explícita (solução logística) e interpretar constantes.
-
Exponenciando:onde
é constante positiva (já que inicialmente). -
Resolver para
:
- Para ficar mais simples, reescrevemos como
onde é outra constante positiva que vamos determinar com as condições iniciais.
Passo 5
Determinar a constante
usando
.
- Em
: - Substituindo
: - Portanto a solução específica é
Passo 6
Determinar
usando
.
-
Substituir
e na solução: -
Inverter:
-
Assim:
-
Tomando logaritmo natural:
-
Comentário:
é positivo, como esperado, e foi encontrado diretamente a partir da condição em .
Passo 7
Calcular
(parte (a)) com
encontrado — faça passo a passo as contas sem pular.
-
Usamos a fórmula geral com
: -
Sabemos de Passo 6 que
. Então -
Substituir:
-
Simplificar a fração
: dividindo numerador e denominador por dá . -
Logo
-
Simplificando:
. Também . Cancelando um fator : -
Em forma decimal
. -
Interpretação rápida: o modelo contínuo prevê cerca de
pessoas infectadas após 2 dias (visto que crescimento é muito rápido quando ainda há muitos não infectados).
Passo 8
Calcular o limite quando
(parte (b)) — explique por que isso acontece.
- A expressão de
é - Como
, temos quando . Portanto o denominador tende a . - Assim
- Interpretação: a infecção, no modelo, acaba por infectar toda a população (a capacidade/assíntota é
). Na prática, isso significa que o número de infectados tende a (assíntoticamente).
Passo 9
Descrever o gráfico de
(parte (c)) e indicar pontos importantes para esboçar a curva.
- Tipo de curva:
é uma curva logística (forma ) — cresce lentamente no começo, depois cresce rápido na fase intermediária e finalmente desacelera quando se aproxima da assíntota horizontal. - Assíntota horizontal:
quando . Então a linha é uma assíntota superior. - Valores e pontos a marcar no esboço:
-
(ponto inicial). -
(dado do enunciado). -
.
-
- Monotonicidade:
é positiva enquanto , logo é estritamente crescente. - Ponto de inflexão: ocorre quando
. Podemos localizar aproximadamente o tempo do ponto de inflexão resolvendo . Isso leva a , ou . Usando , obtemos Ou seja, o ponto de inflexão está um pouco depois de . Antes do ponto de inflexão a curva é côncava para cima; depois, côncava para baixo. - Esboço (direção para desenhar): comece em
com , passe por , suba rapidamente atravessando por volta de , chegue em perto de e depois aproxime-se horizontalmente de sem nunca ultrapassar (assíntota).
Resposta
(a)
(b)
(c) Curva logística crescente em S, com assíntota horizontal ; pontos importantes:
,
,
e ponto de inflexão em
.
(b)
(c) Curva logística crescente em S, com assíntota horizontal