Ache o gradiente da função dada no ponto (1,1).
f(x, y)=x y e^{-x y}.

Passo 1

O enunciado pede para achar o gradiente de f no ponto (1,1). As informações dadas são:
f(x,y)=x y e^{-x y}
e o ponto onde queremos o gradiente é (1,1).
A pergunta explícita: calcular \nabla f(1,1), isto é, o par \left(\frac{\partial f}{\partial x}(1,1),\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)\right).

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calcular na prática?
O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Derivada parcial significa: derivar f em relação a uma variável (por exemplo x) tratando a outra (aqui y) como constante.
Para calcular cada parcial vamos usar duas regras básicas:
  1. Regra do produto: se g(x)=u(x)\cdot v(x), então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui aplicamos isso tratando uma das funções como x y e a outra como e^{-xy}.
  2. Regra da cadeia: se h(x)=\exp(\varphi(x)), então h'(x)=\exp(\varphi(x))\cdot \varphi'(x). No nosso caso \varphi(x,y)=-xy.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Para facilitar a visualização, defino a função intermediária
u(x,y)=x y,
então
f(x,y)=u(x,y)\,e^{-u(x,y)}.
Quando derivarmos em x ou y usaremos produto e cadeia aplicados a u e a \exp(-u).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y). Usando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(u\big)\cdot e^{-u}+u\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-u}\big).
Agora cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(u\big)=\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y \quad\text{(pois \(y\) é tratado como constante).}é
E, pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-u}\big)=e^{-u}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(-u)=e^{-u}\cdot(-1)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=e^{-u}\cdot(-y).
Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\,e^{-u}+u\cdot\big(e^{-u}(-y)\big).
Fatorando e^{-u} e lembrando u=xy:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{-xy}\big(y- x y^2\big).
Podemos também escrever de forma mais compacta:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\,e^{-xy}\big(1-xy\big).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y). O procedimento é análogo, trocando o papel de x e y. Aplicando regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(u)\cdot e^{-u}+u\cdot\frac{\partial}{\partial y}(e^{-u}).
Temos
\frac{\partial}{\partial y}(u)=\frac{\partial}{\partial y}(x y)=x,
e pela cadeia
\frac{\partial}{\partial y}(e^{-u})=e^{-u}\cdot(-1)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=e^{-u}\cdot(-x).
Substituindo e fatorando e^{-u}:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{-xy}\big(x- x^2 y\big),
ou de forma compacta:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\,e^{-xy}\big(1-xy\big).

Passo 6

Agora avaliamos as parciais no ponto (1,1). Primeiro calcule xy em (1,1):
xy\big|_{(1,1)}=1\cdot 1=1.
E e^{-xy}\big|_{(1,1)}=e^{-1}. Usando as fórmulas obtidas:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=y\,e^{-xy}\big(1-xy\big)\Big|_{(1,1)}=1\cdot e^{-1}\cdot(1-1)=e^{-1}\cdot 0=0,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=x\,e^{-xy}\big(1-xy\big)\Big|_{(1,1)}=1\cdot e^{-1}\cdot(1-1)=0.

Passo 7

Portanto o gradiente no ponto (1,1) é o vetor cujas componentes calculamos:
\nabla f(1,1)=\big(0,\,0\big).

Resposta

\nabla f(1,1)=(0,0)

Exercícios relacionados