Ache o gradiente da função dada no ponto (1,1). f(x, y)=x y e^{-x y}.
Passo 1
O enunciado pede para achar o gradiente de f no ponto (1,1). As informações dadas são:
f(x,y)=x y e^{-x y}
e o ponto onde queremos o gradiente é (1,1).
A pergunta explícita: calcular \nabla f(1,1), isto é, o par \left(\frac{\partial f}{\partial x}(1,1),\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)\right).
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calcular na prática?
O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Derivada parcial significa: derivar f em relação a uma variável (por exemplo x) tratando a outra (aqui y) como constante.
Para calcular cada parcial vamos usar duas regras básicas:
Regra do produto: se g(x)=u(x)\cdot v(x), então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui aplicamos isso tratando uma das funções como x y e a outra como e^{-xy}.
Regra da cadeia: se h(x)=\exp(\varphi(x)), então h'(x)=\exp(\varphi(x))\cdot \varphi'(x). No nosso caso \varphi(x,y)=-xy.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Para facilitar a visualização, defino a função intermediária
u(x,y)=x y,
então
f(x,y)=u(x,y)\,e^{-u(x,y)}.
Quando derivarmos em x ou y usaremos produto e cadeia aplicados a u e a \exp(-u).
Passo 4
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y). Usando a regra do produto: