13_ Um navio de massa m se move em direção ao cais com velocidade de
. Seu motor 'e desligado a uma distância de 3 km do cais. Considerando que a resistência da água é proporcional a velocidade com constante de proporcionalidade
:
(a) Determine a velocidade do navio 1 hora após o motor ser desligado.
(b) O navio atingirá o cais? Justifique.
(a) Determine a velocidade do navio 1 hora após o motor ser desligado.
(b) O navio atingirá o cais? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá que um navio de massa
move-se em direção ao cais com velocidade inicial
e que o motor é desligado quando o navio está a
do cais. A resistência da água é proporcional à velocidade, com constante de proporcionalidade dada como
. O que se pede:
(a) a velocidade do navio uma hora após o motor ser desligado;
(b) se o navio atingirá o cais e justificar.
(a) a velocidade do navio uma hora após o motor ser desligado;
(b) se o navio atingirá o cais e justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A velocidade inicial é
A distância inicial até o cais é
Força de resistência proporcional à velocidade: força
com constante
.
Foi dado
. Vou interpretar isto como
(ou seja,
é igual a seis vezes a massa
), de modo que a razão
tem unidade de
. Essa interpretação é necessária para obter uma equação com unidades compatíveis com
em
e
em horas.
Passo 2
Modelagem física e equação diferencial básica — explicação didática.
Quando a resistência é proporcional à velocidade, a força resultante sobre o navio (com motor desligado) é apenas a resistência, que aponta no sentido contrário ao movimento. Pela segunda lei de Newton:
Quando a resistência é proporcional à velocidade, a força resultante sobre o navio (com motor desligado) é apenas a resistência, que aponta no sentido contrário ao movimento. Pela segunda lei de Newton:
Aqui:
é a massa do navio;
é a velocidade escalar (positiva no sentido do movimento para o cais);
é a constante de proporcionalidade da força de resistência;
o sinal negativo indica que a resistência reduz a velocidade.
Dividindo por obtemos
Dividindo por
Segundo a interpretação feita no Passo 1,
. Assim a equação fica
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem muito comum — chamada equação de decaimento exponencial — que resolve-se por separação de variáveis.
Passo 3
Resolver a equação diferencial para
— passo a passo da separação.
Escrevemos
Escrevemos
Integramos ambos os lados entre
e
:
O lado esquerdo dá
e o direito dá
. Logo
Exponentiando:
Aplicando
obtemos a expressão geral:
Passo 4
Calcular a velocidade uma hora após desligar o motor (parte (a)).
Basta avaliar :
Basta avaliar
Fazendo a aproximação numérica
, temos
Se quiser ver em metros por segundo, convertemos:
Interpretação: a velocidade cai muito rapidamente por causa da grande razão
.
Passo 5
Determinar a posição em função do tempo para ver se o navio atinge o cais — passo a passo.
Defina como a distância do navio ao cais (em km). Temos
. Como o navio se move em direção ao cais com velocidade
, a taxa de variação de
é negativa:
Defina
Integramos de
a
:
Calcule a integral:
Logo
Simplificando:
Observação: confere-se a conta integrando passo a passo — a forma final é simples e exata.
Passo 6
Analisar o comportamento quando
para responder (b).
Avaliaremos o limite:
Avaliaremos o limite:
Isto significa que, à medida que o tempo cresce, a distância ao cais tende a
e jamais chega a zero. Assim o navio não atinge o cais; ele aproxima-se assintoticamente e fica a
de distância do cais no limite.
Passo 7
Interpretação física final e motivação para a resposta na prova.
Resumo do raciocínio que você pode escrever na prova: modela-se a resistência como proporcional à velocidade e aplica-se a segunda lei de Newton para obter . Com a hipótese
tem-se
e solução exponencial
. Integrando a velocidade obtém-se
, que tende a
. Logo o navio não alcança o cais; ele pára efetivamente em sentido de se aproximar até 1 km e não atinge o cais.
Resumo do raciocínio que você pode escrever na prova: modela-se a resistência como proporcional à velocidade e aplica-se a segunda lei de Newton para obter
Resposta
(a)
.\n(b) Não; o navio não atinge o cais. A distância ao cais tende para
quando
.