13_ Um navio de massa m se move em direção ao cais com velocidade de 12 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Seu motor 'e desligado a uma distância de 3 km do cais. Considerando que a resistência da água é proporcional a velocidade com constante de proporcionalidade \mathrm{k}=6 \mathrm{~m} :
(a) Determine a velocidade do navio 1 hora após o motor ser desligado.
(b) O navio atingirá o cais? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá que um navio de massa m move-se em direção ao cais com velocidade inicial 12\\ \text{km/h} e que o motor é desligado quando o navio está a 3\\ \text{km} do cais. A resistência da água é proporcional à velocidade, com constante de proporcionalidade dada como k=6\,m. O que se pede:
(a) a velocidade do navio uma hora após o motor ser desligado;
(b) se o navio atingirá o cais e justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A velocidade inicial é \;v(0)=12\\ \text{km/h}.
A distância inicial até o cais é \;x(0)=3\\ \text{km}.
Força de resistência proporcional à velocidade: força \propto v com constante k.
Foi dado k=6\,m. Vou interpretar isto como k = 6\,m (ou seja, k é igual a seis vezes a massa m), de modo que a razão \dfrac{k}{m}=6 tem unidade de \text{hora}^{-1}. Essa interpretação é necessária para obter uma equação com unidades compatíveis com v em \text{km/h} e t em horas.

Passo 2

Modelagem física e equação diferencial básica — explicação didática.
Quando a resistência é proporcional à velocidade, a força resultante sobre o navio (com motor desligado) é apenas a resistência, que aponta no sentido contrário ao movimento. Pela segunda lei de Newton:
m\frac{dv}{dt} = -k v.
Aqui:
m é a massa do navio;
v(t) é a velocidade escalar (positiva no sentido do movimento para o cais);
k é a constante de proporcionalidade da força de resistência;
o sinal negativo indica que a resistência reduz a velocidade.
Dividindo por m obtemos
\frac{dv}{dt} = -\frac{k}{m}\,v.
Segundo a interpretação feita no Passo 1, \dfrac{k}{m}=6. Assim a equação fica
\frac{dv}{dt} = -6\,v.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem muito comum — chamada equação de decaimento exponencial — que resolve-se por separação de variáveis.

Passo 3

Resolver a equação diferencial para v(t) — passo a passo da separação.
Escrevemos
\frac{1}{v}\,dv = -6\,dt.
Integramos ambos os lados entre 0 e t:
\int_{v(0)}^{v(t)} \frac{1}{v}\,dv = \int_{0}^{t} (-6)\,dt.
O lado esquerdo dá \ln\!\big(\tfrac{v(t)}{v(0)}\big) e o direito dá -6t. Logo
\ln\!\big(\tfrac{v(t)}{v(0)}\big) = -6t.
Exponentiando:
v(t) = v(0)\,e^{-6t}.
Aplicando v(0)=12\\ \text{km/h} obtemos a expressão geral:
v(t)=12\,e^{-6t}\quad\text{(em km/h, com \(t\) em horas).}

Passo 4

Calcular a velocidade uma hora após desligar o motor (parte (a)).
Basta avaliar v(1):
v(1)=12\,e^{-6}.
Fazendo a aproximação numérica e^{-6}\approx 0{,}00247875, temos
v(1)\approx 12\times 0{,}00247875 = 0{,}029745\\ \text{km/h}.
Se quiser ver em metros por segundo, convertemos:
0{,}029745\\ \text{km/h} = 0{,}029745\cdot\frac{1000}{3600}\\ \text{m/s}\approx 0{,}00826\\ \text{m/s}.
Interpretação: a velocidade cai muito rapidamente por causa da grande razão \dfrac{k}{m}=6.

Passo 5

Determinar a posição em função do tempo para ver se o navio atinge o cais — passo a passo.
Defina x(t) como a distância do navio ao cais (em km). Temos x(0)=3. Como o navio se move em direção ao cais com velocidade v(t), a taxa de variação de x é negativa:
\frac{dx}{dt} = -v(t) = -12\,e^{-6t}.
Integramos de 0 a t:
x(t)-x(0) = \int_0^t -12\,e^{-6s}\,ds.
Calcule a integral:
\int_0^t -12\,e^{-6s}\,ds = -12\cdot\left[\frac{1}{-6}e^{-6s}\right]_0^t = -12\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)\left(e^{-6t}-1\right) = 2\left(1-e^{-6t}\right).
Logo
x(t) = x(0) + 2\left(1-e^{-6t}\right) = 3 + 2\left(1-e^{-6t}\right).
Simplificando:
x(t)=1 + 2\,e^{-6t}.
Observação: confere-se a conta integrando passo a passo — a forma final é simples e exata.

Passo 6

Analisar o comportamento quando t\to\infty para responder (b).
Avaliaremos o limite:
\lim_{t\to\infty} x(t) = \lim_{t\to\infty} \big(1 + 2\,e^{-6t}\big) = 1 + 2\cdot 0 = 1\\ \text{km}.
Isto significa que, à medida que o tempo cresce, a distância ao cais tende a 1\\ \text{km} e jamais chega a zero. Assim o navio não atinge o cais; ele aproxima-se assintoticamente e fica a 1\\ \text{km} de distância do cais no limite.

Passo 7

Interpretação física final e motivação para a resposta na prova.
Resumo do raciocínio que você pode escrever na prova: modela-se a resistência como proporcional à velocidade e aplica-se a segunda lei de Newton para obter \dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{k}{m}v. Com a hipótese k=6m tem-se \dfrac{k}{m}=6 e solução exponencial v(t)=12e^{-6t}. Integrando a velocidade obtém-se x(t)=1+2e^{-6t}, que tende a 1\\ \text{km}. Logo o navio não alcança o cais; ele pára efetivamente em sentido de se aproximar até 1 km e não atinge o cais.

Resposta

(a) \;v(1)=12\,e^{-6}\\ \text{km/h}\approx 0{,}029745\\ \text{km/h}\\ (\approx 0{,}00826\\ \text{m/s}).\n(b) Não; o navio não atinge o cais. A distância ao cais tende para \;1\\ \text{km} quando t\to\infty.

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