1. Em cada item, verifique se a função dada é derivável nos pontos referidos, justificando sua resposta.
    (a) f(x) = { 3 - 2x, se x < 2; 3x - 7, se x ≥ 2 }, em x = 2.

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por partes:
A questão pede para verificar se essa função é derivável no ponto . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas e como elas funcionam em funções que mudam de fórmula em certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Uma função precisa ser contínua no ponto para poder ser derivável nele.
  • Valor da função em :
  • Limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
    Usando a parte da função para :
  • Limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
    Usando a parte da função para :
Como todos os valores são iguais a , a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se as derivadas laterais (à esquerda e à direita) s��o iguais em . Se forem, a função é derivável; se não, não é.
  • Derivada pela esquerda ( ):
    A derivada da parte é:
    Então,
  • Derivada pela direita ( ):
    A derivada da parte é:
    Então,
As derivadas laterais são pela esquerda e pela direita, que são diferentes.

Resposta

A função não é derivável em .

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