- Em cada item, verifique se a função dada é derivável nos pontos referidos, justificando sua resposta.
(a)
, em
.
(a)
Passo 1
Então, a gente tem uma função definida por partes:
A questão pede para verificar se essa função é derivável no ponto
. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas e como elas funcionam em funções que mudam de fórmula em certos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Uma função precisa ser contínua no ponto para poder ser derivável nele.
-
Valor da função em
: -
Limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda ( ): Usando a parte da função para: -
Limite quando
se aproxima de 2 pela direita ( ): Usando a parte da função para:
Como todos os valores são iguais a
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se as derivadas laterais (à esquerda e à direita) s��o iguais em
. Se forem, a função é derivável; se não, não é.
-
Derivada pela esquerda (
): A derivada da parteé: Então, -
Derivada pela direita (
): A derivada da parteé: Então,
As derivadas laterais são
pela esquerda e
pela direita, que são diferentes.
Resposta
A função
não é derivável em
.