- Sejam
uma função diferenciável duas vezes e
dada por
.
(a) Determine
.
(a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
onde
é uma função que pode ser diferenciada duas vezes. A nossa missão aqui é descobrir a segunda derivada de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer um pouco sobre derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a
. Como queremos a segunda derivada, vamos derivar a função duas vezes.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada de
, que é
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Se
onde
, então:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
, a derivada de
em relação a
. Temos:
Derivando termo a termo:
Passo 5
Voltando à primeira derivada de
:
Substituindo
de volta:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Vamos derivar
novamente. Novamente, usamos a regra da cadeia e também a regra do produto, já que temos um produto de duas funções.
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Vamos calcular
, a segunda derivada de
:
Derivando novamente:
Passo 8
Substituindo
e
na expressão de
:
Resposta
A segunda derivada de
é: