1. Sejam f: R -> R uma função diferenciável duas vezes e g: R -> R dada por g(x) = f(x + 2 cos(3 x)).
    (a) Determine g''(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função onde é uma função que pode ser diferenciada duas vezes. A nossa missão aqui é descobrir a segunda derivada de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer um pouco sobre derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Como queremos a segunda derivada, vamos derivar a função duas vezes.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada de , que é . Para isso, usamos a regra da cadeia. Se onde , então:

Passo 4

Agora, precisamos calcular , a derivada de em relação a . Temos:
Derivando termo a termo:

Passo 5

Voltando à primeira derivada de :
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Vamos derivar novamente. Novamente, usamos a regra da cadeia e também a regra do produto, já que temos um produto de duas funções.
Aplicando a regra do produto:

Passo 7

Vamos calcular , a segunda derivada de :
Derivando novamente:

Passo 8

Substituindo e na expressão de :

Resposta

A segunda derivada de é:

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