Considere a série , onde é a sequência que começa com e cada termo é obtido multiplicando o anterior alternadamente por b ou por a :
Mostre que o teste da razão é inconclusivo e use o teste da raiz para decidir se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma série infinita , onde cada termo da sequência começa com e, alternadamente, multiplica-se por ou por , com . Nosso objetivo é mostrar que o teste da razão não dá uma resposta clara (é inconclusivo) e, então, usar o teste da raiz para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como funcionam esses testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar aplicar o teste da razão. Esse teste examina o limite . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular para a nossa sequência. Observando a sequência dada:
Perceba que os termos alternam entre multiplicar por e por . Então, o quociente alterna entre e . Portanto, o limite não existe, pois a sequência dos quocientes não converge para um único valor.
Passo 3
Como o limite dos quocientes alterna entre limn to infty | an+1an | e , e sabemos que , o limite não existe de forma única. Isso significa que:
não é um número único, e portanto, o teste da razão não nos dá uma conclusão definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Ou seja, o teste da razão é inconclusivo para essa série.
Passo 4
Agora vamos usar o teste da raiz, que examina o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Se an = a^kb^m , a série converge absolutamente; se raiz[2n]a^nb^n = (a^nb^n)^1/(2n) = a^1/2b^1/2 , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular para a nossa sequência. Observando a forma dos termos:
onde e são expoentes que aumentam com . Mas, especificamente, cada termo tem aproximadamente a mesma quantidade de e . Por exemplo:
Então,
Sabemos que , então .
Passo 5
Como o limite , pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.