14** Calcule o campo magnético sobre o eixo de um solenóide cuja densidade de espiras por unidade de comprimento é n por dois métodos:
(a) usando a lei de Biot-Savart;
(b) usando a lei de Ampère.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético ao longo do eixo de um solenóide com densidade de espiras por unidade de comprimento n e corrente em cada espira igual a I. Vamos usar dois métodos de magnetostática:
1. A lei de Biot–Savart, integrando a contribuição de cada espira (modelo de solenóide longo, L \to\infty).
2. A lei de Ampère, explorando a simetria e adotando que fora do solenóide o campo é desprezível.

Passo 2

Método (a): lei de Biot–Savart
1. Campo de uma única espira de raio a no ponto do eixo a uma distância z' do plano da espira é
\mathrm{d}B_z(z') \;=\; \frac{\mu_0\,I\,a^2}{2\bigl(a^2+z'^2\bigr)^{3/2}}\,.
2. Num solenóide infinito, temos n\,\mathrm{d}z' espiras num elemento de comprimento \mathrm{d}z'. Logo a contribuição total ao ponto de eixo z=0 é
B_z \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mu_0\,I\,a^2}{2\bigl(a^2+z'^2\bigr)^{3/2}}\;n\,\mathrm{d}z'\,.

Passo 3

Avaliação da integral
1. Fatoramos constantes:
B_z = \frac{\mu_0\,n\,I\,a^2}{2}\,\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d}z'}{\bigl(a^2+z'^2\bigr)^{3/2}}.
2. Usa-se o resultado padrão
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}u}{(a^2+u^2)^{3/2}} = \frac{2}{a^2}.
3. Logo
B_z = \frac{\mu_0\,n\,I\,a^2}{2}\,\frac{2}{a^2} = \mu_0\,n\,I.
O vetor campo fica \vec B = \mu_0\,n\,I\,\hat z.

Passo 4

Método (b): lei de Ampère
1. Pela simetria, dentro do solenóide \vec B é uniforme e paralelo ao eixo ( \hat z); fora ele é desprezível.
2. Escolhemos um percurso retangular de lado l paralelo ao eixo e lado de retorno fora do solenóide (onde B\approx0).
3. A integral de linha
\oint \vec B\cdot\mathrm{d}\vec\ell = B\cdot l \;=\; \mu_0\,I_{\rm encl}.
4. A corrente envolvida é I_{\rm encl}=n\,l\cdot I. Assim
B\,l = \mu_0\,n\,l\,I \quad\Longrightarrow\quad B = \mu_0\,n\,I.

Resposta

\displaystyle \vec B = \mu_{0}\,n\,I\,\hat z (campo uniforme ao longo do eixo do solenóide infinito).

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