Exercício 16. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo- x, da região limitada por: y=1, y x=1,1 \leq x \leq 2
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Os dados são:
As curvas dadas são y=1 e y x = 1. Vou interpretar y x = 1 como y=\dfrac{1}{x}.
O intervalo em x é 1 \leq x \leq 2.
O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por essas curvas, no intervalo dado, em torno do eixo x.
Informações úteis extraídas:
Em x=1 temos y=1 e y=\dfrac{1}{1}=1 — as curvas se encontram em x=1.
Para x em [1,2], tem-se \dfrac{1}{x}\le 1, ou seja, y=1 é a fronteira superior e y=\dfrac{1}{x} a inferior.
Passo 2
Visualização e escolha da técnica: ao girar uma região limitada por duas funções y=f(x) e y=g(x) em torno do eixo x, é natural usar o método dos discos (ou “washers”) porque as seções transversais perpendiculares ao eixo x são anéis circulares.
A fórmula do volume por fatias (washers) é:
V=\pi\int_{a}^{b}\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx,
onde:
R(x) é o raio externo (distância do eixo x até a curva superior),
r(x) é o raio interno (distância do eixo x até a curva inferior),
a e b são os limites em x.
Explicando com calma: cada fatia em x tem forma de um disco de raio R com um buraco de raio r; a área da fatia é \pi(R^2-r^2) e integrando em x obtemos o volume total.
Passo 3
Identificar R(x) e r(x) para o nosso caso:
A curva superior é y=1, logo o raio externo é R(x)=1 (distância do eixo x até y=1).
A curva inferior é y=\dfrac{1}{x}, logo o raio interno é r(x)=\dfrac{1}{x}.