Exercício 16. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo- x, da região limitada por:
y=1, y x=1,1 \leq x \leq 2

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Os dados são:
  • As curvas dadas são y=1 e y x = 1. Vou interpretar y x = 1 como y=\dfrac{1}{x}.
  • O intervalo em x é 1 \leq x \leq 2.
  • O enunciado pede: calcular o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por essas curvas, no intervalo dado, em torno do eixo x.
Informações úteis extraídas:
  • Em x=1 temos y=1 e y=\dfrac{1}{1}=1 — as curvas se encontram em x=1.
  • Para x em [1,2], tem-se \dfrac{1}{x}\le 1, ou seja, y=1 é a fronteira superior e y=\dfrac{1}{x} a inferior.

Passo 2

Visualização e escolha da técnica: ao girar uma região limitada por duas funções y=f(x) e y=g(x) em torno do eixo x, é natural usar o método dos discos (ou “washers”) porque as seções transversais perpendiculares ao eixo x são anéis circulares.
A fórmula do volume por fatias (washers) é:
V=\pi\int_{a}^{b}\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx,
onde:
  • R(x) é o raio externo (distância do eixo x até a curva superior),
  • r(x) é o raio interno (distância do eixo x até a curva inferior),
  • a e b são os limites em x.
Explicando com calma: cada fatia em x tem forma de um disco de raio R com um buraco de raio r; a área da fatia é \pi(R^2-r^2) e integrando em x obtemos o volume total.

Passo 3

Identificar R(x) e r(x) para o nosso caso:
  • A curva superior é y=1, logo o raio externo é R(x)=1 (distância do eixo x até y=1).
  • A curva inferior é y=\dfrac{1}{x}, logo o raio interno é r(x)=\dfrac{1}{x}.
Os limites são a=1 e b=2.

Passo 4

Montar a integral do volume usando a fórmula:
V=\pi\int_{1}^{2}\left(1^{2}-\left(\frac{1}{x}\right)^{2}\right)\,dx =\pi\int_{1}^{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
Primeiro, achar a antiderivada de cada termo:
\int 1\,dx = x, \qquad \int x^{-2}\,dx = -x^{-1}.
Portanto a antiderivada de 1-\dfrac{1}{x^{2}} é
x - (-x^{-1}) = x + \frac{1}{x}.
Avaliar entre 1 e 2:
\left.\left(x+\frac{1}{x}\right)\right|_{1}^{2} = \left(2+\frac{1}{2}\right)-\left(1+1\right) = \frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}.

Passo 6

Multiplicando pelo fator \pi que estava fora da integral:
V=\pi\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}.
Segue um empurrãozinho final: deu tudo certinho — integral simples e resultado bonito \dfrac{\pi}{2}. Força aí na prova, já era metade do caminho!

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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