De 9 a 14 calcule o valor da integral definida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - O objetivo é obter um valor numérico exato da integral definida.
Passo 2
Motivação do método: o integrando contém
(raiz quadrada de
) tanto no denominador quanto dentro do parêntese
. Uma substituição que costuma simplificar esse tipo de expressão é definir uma nova variável igual à raiz, isto é:
Essa escolha transforma a raiz em uma variável simples e facilita o cancelamento de fatores. Agora vou computar
em função de
.
Passo 3
Calcular
e trocar os limites usando
.
- Como
, temos . - Derivando ambos os lados em relação a
: . - Trocar os limites: quando
então ; quando então .
Portanto a integral ementre e vira uma integral em entre e .
Passo 4
Fazer a substituição completa na integral. Substituindo
e
obtemos:
Agora simplificar o integrando passo a passo:
Como
no intervalo
, o fator
no numerador e no denominador cancela, ficando
Logo a integral simplifica para
Passo 5
Integrar
. Lembrando que a primitiva de
é
(logaritmo natural), pela regra da constante multiplicativa a primitiva de
é
. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo,
Calcular os argumentos:
Usando a propriedade dos logaritmos
, isso fica
Passo 6
Interpretação final: a integral definida avaliada nos limites dados resulta em uma expressão simples em termos do logaritmo natural. Se for útil como verificação numérica, essa quantidade é aproximadamente
mas a forma exata é preferível para uma resposta simbólica.