De 9 a 14 calcule o valor da integral definida:
\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{y}(1+\sqrt{y})} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da integral definida
\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{y}\,(1+\sqrt{y})}\,dy.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{y}\,(1+\sqrt{y})}.
  • Os limites de integração são y=1 (inferior) e y=4 (superior).
  • O objetivo é obter um valor numérico exato da integral definida.

Passo 2

Motivação do método: o integrando contém \sqrt{y} (raiz quadrada de y) tanto no denominador quanto dentro do parêntese 1+\sqrt{y}. Uma substituição que costuma simplificar esse tipo de expressão é definir uma nova variável igual à raiz, isto é:
t=\sqrt{y}.
Essa escolha transforma a raiz em uma variável simples e facilita o cancelamento de fatores. Agora vou computar dy em função de dt.

Passo 3

Calcular dy e trocar os limites usando t=\sqrt{y}.
  • Como t=\sqrt{y}, temos y=t^2.
  • Derivando ambos os lados em relação a t: dy = 2t\,dt.
  • Trocar os limites: quando y=1 então t=\sqrt{1}=1; quando y=4 então t=\sqrt{4}=2.
    Portanto a integral em y entre 1 e 4 vira uma integral em t entre 1 e 2.

Passo 4

Fazer a substituição completa na integral. Substituindo y=t^2 e dy=2t\,dt obtemos:
\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{y}\,(1+\sqrt{y})}\,dy = \int_{t=1}^{t=2} \frac{1}{t\,(1+t)}\,(2t\,dt).
Agora simplificar o integrando passo a passo:
\frac{1}{t\,(1+t)}\cdot 2t = \frac{2t}{t(1+t)}.
Como t\neq 0 no intervalo [1,2], o fator t no numerador e no denominador cancela, ficando
\frac{2t}{t(1+t)} = \frac{2}{1+t}.
Logo a integral simplifica para
\int_{1}^{2} \frac{2}{1+t}\,dt.

Passo 5

Integrar \dfrac{2}{1+t}. Lembrando que a primitiva de \dfrac{1}{1+t} é \ln(1+t) (logaritmo natural), pela regra da constante multiplicativa a primitiva de \dfrac{2}{1+t} é 2\ln(1+t). Usando o Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{2} \frac{2}{1+t}\,dt = \left[2\ln(1+t)\right]_{t=1}^{t=2} = 2\ln(1+2)-2\ln(1+1).
Calcular os argumentos:
2\ln(3)-2\ln(2)=2\bigl(\ln(3)-\ln(2)\bigr).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(a)-\ln(b)=\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right), isso fica
2\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).

Passo 6

Interpretação final: a integral definida avaliada nos limites dados resulta em uma expressão simples em termos do logaritmo natural. Se for útil como verificação numérica, essa quantidade é aproximadamente
2\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)\approx 2\cdot 0{,}405465\ldots \approx 0{,}81093\ldots,
mas a forma exata é preferível para uma resposta simbólica.

Resposta

2\ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)

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