De 16 a 27 calcule a integral indefinida:
\int \operatorname{sen} x\left(1+\cos ^{3} x\right) d x CORRIGIR !!!

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \sin x\left(1+\cos^{3}x\right)\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é \sin x multiplicado por 1+\cos^{3}x.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\sin x(1+\cos^{3}x).
  • Vou devolver a resposta com a constante de integração C.

Passo 2

Ideia básica (método da substituição): notar que a derivada de \cos x é -\sin x. Isso sugere a substituição
u=\cos x,
porque então du=-\sin x\,dx ou equivalentemente \sin x\,dx=-du.
Explicando a substituição: quando a integral contém uma função g(x) e sua derivada (ou um múltiplo desta) aparece multiplicando, é conveniente trocar a variável para u=g(x). Assim a integral em x vira uma integral em u geralmente mais simples.

Passo 3

Aplicando a substituição u=\cos x e \sin x\,dx=-du, reescrevemos a integral:
\int \sin x\left(1+\cos^{3}x\right)\,dx = \int (1+u^{3})\sin x\,dx = \int (1+u^{3})(-du) = -\int (1+u^{3})\,du.

Passo 4

Agora integramos em u. Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando:
\int (1+u^{3})\,du = \int 1\,du + \int u^{3}\,du = u + \frac{u^{4}}{4} + C.
Com o sinal negativo que apareceu na substituição:
-\int (1+u^{3})\,du = -\left(u + \frac{u^{4}}{4}\right) + C.

Passo 5

Volta à variável x substituindo u=\cos x:
-\left(u + \frac{u^{4}}{4}\right)+C = -\cos x - \frac{\cos^{4}x}{4} + C.
Pronto — essa é uma primitiva da função dada. Pode-se checar derivando: ao derivar -\cos x - \dfrac{\cos^{4}x}{4} obtém-se \sin x(1+\cos^{3}x).

Resposta

-\cos x - \dfrac{\cos^{4}x}{4} + C

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