De 9 a 14 calcule o valor da integral definida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - O intervalo de integração é de
até .
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Estratégia básica para integrar uma função valor absoluto: achar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal, dividir o intervalo nesses pontos e substituir o valor absoluto por sua expressão sem módulo (com sinal apropriado) em cada subintervalo. Primeiro, resolvemos a equação
para encontrar o ponto onde muda o sinal.
Passo 3
Resolver
:
O ponto
está dentro do intervalo de integração
, então devemos dividir a integral em dois pedaços:
e
.
Passo 4
Determinar o sinal de
em cada subintervalo com um ponto teste:
- Para
(por exemplo ), temos . Logo em a expressão é positiva e . - Para
(por exemplo ), temos . Logo em a expressão é negativa e .
Portanto a integral se escreve como soma de duas integrais sem módulo:
Passo 5
Agora calculamos as primitivas. Lembrete: para uma função linear
,
Aplicando aqui:
- Para
temos e , então uma primitiva é
- Para
temos e , então uma primitiva é
Passo 6
Avaliar as integrais definidas usando as primitivas.
Primeira integral:
Primeira integral:
Calcular
e
:
Logo
Segunda integral:
Calcular
e
:
Logo
Passo 7
Somar os resultados parciais: