De 9 a 14 calcule o valor da integral definida:
\int_{-1}^{3}|4-2 x| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{3} |4-2x|\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função |4-2x|.
  • O intervalo de integração é de x=-1 até x=3.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Estratégia básica para integrar uma função valor absoluto: achar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal, dividir o intervalo nesses pontos e substituir o valor absoluto por sua expressão sem módulo (com sinal apropriado) em cada subintervalo. Primeiro, resolvemos a equação
4-2x=0
para encontrar o ponto onde muda o sinal.

Passo 3

Resolver 4-2x=0:
4-2x=0 \implies 2x=4 \implies x=2.
O ponto x=2 está dentro do intervalo de integração [-1,3], então devemos dividir a integral em dois pedaços: [-1,2] e [2,3].

Passo 4

Determinar o sinal de 4-2x em cada subintervalo com um ponto teste:
  • Para x<2 (por exemplo x=0), temos 4-2\cdot0=4>0. Logo em [-1,2) a expressão é positiva e |4-2x|=4-2x.
  • Para x>2 (por exemplo x=3), temos 4-2\cdot3=4-6=-2<0. Logo em (2,3] a expressão é negativa e |4-2x|=-(4-2x)=2x-4.
Portanto a integral se escreve como soma de duas integrais sem módulo:
\int_{-1}^{3} |4-2x|\,dx = \int_{-1}^{2} (4-2x)\,dx + \int_{2}^{3} (2x-4)\,dx.

Passo 5

Agora calculamos as primitivas. Lembrete: para uma função linear ax+b,
\int (ax+b)\,dx = \frac{a}{2}x^2 + bx + C.
Aplicando aqui:
  • Para 4-2x temos a=-2 e b=4, então uma primitiva é
F_1(x) = -x^2 + 4x.
  • Para 2x-4 temos a=2 e b=-4, então uma primitiva é
F_2(x) = x^2 - 4x.

Passo 6

Avaliar as integrais definidas usando as primitivas.
Primeira integral:
\int_{-1}^{2} (4-2x)\,dx = F_1(2)-F_1(-1).
Calcular F_1(2) e F_1(-1):
F_1(2) = -2^2 + 4\cdot2 = -4 + 8 = 4,
F_1(-1) = -(-1)^2 + 4\cdot(-1) = -1 - 4 = -5.
Logo
\int_{-1}^{2} (4-2x)\,dx = 4 - (-5) = 9.
Segunda integral:
\int_{2}^{3} (2x-4)\,dx = F_2(3)-F_2(2).
Calcular F_2(3) e F_2(2):
F_2(3) = 3^2 - 4\cdot3 = 9 - 12 = -3,
F_2(2) = 2^2 - 4\cdot2 = 4 - 8 = -4.
Logo
\int_{2}^{3} (2x-4)\,dx = -3 - (-4) = 1.

Passo 7

Somar os resultados parciais:
\int_{-1}^{3} |4-2x|\,dx = 9 + 1 = 10.

Resposta

10

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