14^circ ) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (2,3) e é perpendicular ao vetor v=(2,5).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pelo ponto (2,3) e é perpendicular ao vetor vec v=(2,5). O conteúdo é geometria analítica: equação de reta a partir de vetor diretor e ponto, usando produto escalar para impor perpendicularidade.

Passo 2

Para que uma reta seja perpendicular a vec v=(2,5), seu vetor diretor vec d=(a,b) deve satisfazer vec vcdotvec d=0. Temos
2a+5b=0

Passo 3

Uma solução simples é escolher a=5 e b=-2, pois
2cdot5+5cdot(-2)=10-10=0

Passo 4

Com isso, a reta tem vetor diretor vec d=(5,-2) e passa por (2,3). Podemos usar a forma ponto-inclinação:
y-3=-25(x-2)

Passo 5

Para obter a forma geral, basta simplificar:
y-3=-tfrac25x+tfrac45Rightarrow y=-tfrac25x+tfrac195

Passo 6

Multiplicando por 5 para limpar denominadores, chegamos a
2x+5y-19=0

Resposta

A equação da reta é 2x+5y-19=0, ou na forma ponto-inclinação: y-3=-25(x-2).

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