(a) Suponha que y-x>1. Prove que existe um inteiro k tal que x.
Dica: Seja l o maior inteiro satisfazendo l <= x, e considere l+1.
(b) Suponha x. Prove que existe um número racional r tal que x.
Dica: Se 1n, então n y-n x>1. (Pergunta: Por que as partes (a) e (b) foram adiadas até este conjunto de problemas?)
© Suponha que r são números racionais. Prove que existe um número irracional entre r e s. Dica: Como um começo, você sabe que existe um número irracional entre 0 e 1 .
(d) Suponha que x. Prove que existe um número irracional entre x e y. Dica: É desnecessário fazer algo a mais; isso segue de (b) e ©.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos resultados de densidade em ℝ: (a) um inteiro entre x e y quando y−x>1, (b) um racional entre quaisquer x<y, © um irracional entre dois racionais r<s, e (d) um irracional entre quaisquer x<y. Vamos usar a propriedade do piso, o princípio de Arquimedes e a densidade de Q e dos irracionais.

Passo 2

Definimos l como o maior inteiro tal que l≤x (ou seja, l=⌊x⌋). Então l≤x implica l+1>x. Como y−x>1, temos x+1<y, logo l+1≤x+1<y. Assim tomamos k=l+1, que é inteiro e satisfaz x<k<y.

Passo 3

Para achar um racional em (x,y), aplicamos o Princípio de Arquimedes para encontrar n∈ℕ tal que 1/n<y−x. Multiplicando, n y−n x>1. Pela parte (a), existe m∈ℤ com n x<m<n y. Então r=m/n é racional e satisfaz x<m/n<y.

Passo 4

Para obter um irracional entre r<s (ambos racionais), escolhemos um irracional t em (0,1) (sabemos que existem muitos, por exemplo t=√2−1). Então r<t’=r+(s−r)t<s. Como s−r e t são irracionais e r é racional, t’ é irracional.

Passo 5

Dado x<y genéricos em ℝ, primeiro achamos dois racionais r<s em (x,y) usando a parte (b) duas vezes. Em seguida, aplicamos a parte © a esses racionais para obter um irracional entre r e s. Esse irracional fica entre x e y, concluindo a prova.

Resposta

Concluímos que: (a) se y−x>1 existe um inteiro k com x<k<y; (b) entre quaisquer x<y em ℝ existe um racional r tal que x<r<y; © entre quaisquer r<s em Q existe um irracional; (d) portanto, entre quaisquer x<y em ℝ existe um irracional.

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