14^circ ) Prove que lim raiz[n]n!=infty.
15^circ) Mostre que se (xn-yn) é limitada e lim yn=infty, então lim xnyn=1.

Passo 1

O enunciado apresenta duas questões sobre limites de sequências:
14circ) mostrar que limntoinftyraiz[n]n!=infty.
15circ) mostrar que, se (xn - yn) é limitada e limntoinftyyn=infty, então limntoinftyxnyn=1.
Vamos usar comparação de produtos e propriedades de limites de soma e quociente.

Passo 2

Para 14circ, observe que, tomando n par e k=tfrac n2,
n! = 1cdot2cdots n ;>=;(k+1)(k+2)cdots(2k)
Como cada fator (k+1),dots,2k é ao menos k, segue
n! >= k^k = l( n2r)^!n/2
Aplicando a raiz n-ésima,
raiz[n]n! ;>=; l(tfrac n2r)^1/2
Mas l(tfrac n2r)^1/2toinfty quando ntoinfty. Logo
limntoinftyraiz[n]n! = infty

Passo 3

Para 15circ, reescrevemos o quociente como
xnyn = yn + (xn - yn)yn = 1 + xn - ynyn
Por hipótese, existe M>0 tal que lvert xn - ynrvert <= M. Como yntoinfty, temos
l|tfracxn - ynynr| <= Myn ;longrightarrow; 0
Assim tfracxnynto 1.

Resposta

14circ) limntoinftyraiz[n]n!=infty 15circ) limntoinftyxnyn=1

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