Questão 3
Valor: 0,30
Considere os vetores u e v em R^3. Se |u|=2,|v|=2 e o ângulo entre os vetores u e v é de 45^circ. Podemos afirmar que:
A) |-3 u+5 v|^2=16-60 raiz2
B) |-3 u+5 v|^2=(16-60 raiz2)^12
C) |-3 u+5 v|^2=(136-60 raiz2)^12
D) |-3 u+5 v|^2=136-60 raiz2
E) |-3 u+5 v|^2=16-30 raiz2

Passo 1

O enunciado dá dois vetores u e v em R^3 com |u|=2, |v|=2 e ângulo entre eles de 45^circ. Pede-se |-3u+5v|^2. Para isso usaremos a relação entre norma ao quadrado e produto interno.

Passo 2

Para quaisquer escalares a,b e vetores u,v vale
|a,u + b,v|^2 = a^2|u|^2 + b^2|v|^2 + 2,a,b,(ucdot v)

Passo 3

Calculamos o produto interno usando cos45^circ=tfracraiz22:
ucdot v = |u||v|cos45^circ =2cdot2cdotraiz22 =2raiz2

Passo 4

Substituindo em |a,u+b,v|^2 com a=-3 e b=5:
|-3u+5v|^2 =(-3)^2cdot4 + 5^2cdot4 + 2cdot(-3)cdot5,(2raiz2) =9cdot4 +25cdot4 -30,(2raiz2) =36 +100 -60raiz2 =136 -60raiz2

Passo 5

A expressão obtida 136 -60raiz2 coincide com a alternativa D.

Resposta

D) |-3u+5v|^2 = 136 - 60raiz2

Exercícios relacionados