10^circ) Sejam lim xn=L1 e lim yn=L2. Se L1<L2, prove que existe n0 in N tal que n>n0 Rightarrow xn<yn.
11^circ ) Diz-se que ( xn ) é um sequência de Cauchy quando, para todo epsilon>0 existe n0 in N tal que m, n>n0 Rightarrow|xm-xn|<epsilon.
a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos.
c) Prove que uma sequência (xn) é convergente se, somente se, é de Cauchy.

Passo 1

O enunciado pede duas partes principais. Na parte 10, temos duas sequências (xn) e (yn) com
lim xn=L1, lim yn=L2 e L1<L2, e precisamos mostrar que existe n0 tal que, para todo n>n0, xn<yn.
Na parte 11 definimos sequência de Cauchy e pedem:
a) provar que toda sequência de Cauchy é limitada;
b) provar que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos;
c) provar que (xn) converge se, e somente se, é de Cauchy.
Usaremos as definições de limite de sequência, de sequência de Cauchy e a desigualdade triangular.

Passo 2

Prova da parte 10. Como L1<L2, defina
epsilon = L2 - L12 > 0
Pela definição de limite, existe N1 tal que, para n>N1, |xn - L1|<epsilon, ou seja
xn < L1 + epsilon = L1+L22
Analogamente, existe N2 tal que, para n>N2, |yn - L2|<epsilon, isto é
yn > L2 - epsilon = L1+L22
Tomando n0 = max(N1,N2), para todo n>n0 temos
xn < tfracL1+L22 < yn,
logo xn<yn.

Passo 3

Prova de (11a). Seja (xn) Cauchy. Tomemos epsilon=1. Então existe N tal que, para m,n>N,
|xm - xn| < 1
Em particular, fixando m=N+1, para todo n>N vale
|xn| <= |xN+1| + |xn - xN+1| < |xN+1| + 1
Para os índices n<= N temos apenas finitos termos, então definimos
M = maxl|x1|,dots,|xN|,,|xN+1|+1r
Isso garante |xn|<= M para todo n, ou seja, (xn) é limitada.

Passo 4

Prova de (11b). Suponha, por absurdo, que (xn) tenha dois valores de aderência distintos Lneq L'. Defina
epsilon = |L - L'|3>0
Como são valores de aderência, existem infinitos n com |xn - L|<epsilon e infinitos com |xn - L'|<epsilon. Mas como (xn) é Cauchy, existe N tal que m,n>NRightarrow |xm - xn|<epsilon. Escolha m,n>N de modo que xm esteja em (L-epsilon,L+epsilon) e xn em (L'-epsilon,L'+epsilon). Pela desigualdade triangular:
|L-L'|<= |L-xm| + |xm-xn| + |xn-L'| < epsilon + epsilon + epsilon = 3epsilon = |L-L'|,
o que é impossível. Portanto, não há dois valores de aderência.

Passo 5

Prova de (11c).
“Convergente Rightarrow” Cauchy. Se xnto L, dado epsilon>0 escolha N tal que n>NRightarrow|xn-L|<epsilon/2. Então, para m,n>N,
|xm - xn|<= |xm-L| + |xn-L| < tfracepsilon2 + tfracepsilon2 = epsilon,
logo (xn) é Cauchy.
“Cauchy Rightarrow” Convergente. Pelo item (a), (xn) é limitada. Então, pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, existe uma subsequência (xnk) que converge a algum L. Dado epsilon>0, como (xn) é Cauchy existe N1 com m,n>N1Rightarrow|xm-xn|<epsilon/2. Como xnkto L, existe K tal que k>KRightarrow|xnk-L|<epsilon/2. Seja n>max(N1,nK). Então, usando triangular,
|xn - L|<= |xn - xnK| + |xnK-L| < tfracepsilon2 + tfracepsilon2 = epsilon
Logo xnto L.

Resposta

  1. Tomando epsilon=(L2-L1)/2 e aplicando a definição de limite em xn e yn, obtemos xn<yn para todo n>n0.
    11a) Sequência de Cauchy é limitada ao escolher epsilon=1 e usar a desigualdade triangular.
    11b) Não pode haver dois valores de aderência distintos, pois dois “balões” disjuntos violariam o critério de Cauchy.
    11c) Sequência converge se, e somente se, é de Cauchy, mostrando cada implicação.

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