Sejam
e
. Se
, prove que existe
tal que
.
) Diz-se que (
) é um sequência de Cauchy quando, para todo
existe
tal que
.
a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos.
c) Prove que uma sequência
é convergente se, somente se, é de Cauchy.
a) Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
b) Prove que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos.
c) Prove que uma sequência
Passo 1
O enunciado pede duas partes principais. Na parte 10, temos duas sequências
e
com
,
e
, e precisamos mostrar que existe
tal que, para todo
,
.
Na parte 11 definimos sequência de Cauchy e pedem:
a) provar que toda sequência de Cauchy é limitada;
b) provar que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos;
c) provar que converge se, e somente se, é de Cauchy.
Na parte 11 definimos sequência de Cauchy e pedem:
a) provar que toda sequência de Cauchy é limitada;
b) provar que uma sequência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos;
c) provar que
Usaremos as definições de limite de sequência, de sequência de Cauchy e a desigualdade triangular.
Passo 2
Prova da parte 10. Como
, defina
Pela definição de limite, existe
tal que, para
,
, ou seja
Analogamente, existe
tal que, para
,
, isto é
Tomando
, para todo
temos
logo
.
Passo 3
Prova de (11a). Seja
Cauchy. Tomemos
. Então existe
tal que, para
,
Em particular, fixando
, para todo
vale
Para os índices
temos apenas finitos termos, então definimos
Isso garante
para todo
, ou seja,
é limitada.
Passo 4
Prova de (11b). Suponha, por absurdo, que
tenha dois valores de aderência distintos
. Defina
Como são valores de aderência, existem infinitos
com
e infinitos com
. Mas como
é Cauchy, existe
tal que
. Escolha
de modo que
esteja em
e
em
. Pela desigualdade triangular:
o que é impossível. Portanto, não há dois valores de aderência.
Passo 5
Prova de (11c).
“Convergente
” Cauchy. Se
, dado
escolha
tal que
. Então, para
,
logo
é Cauchy.
“Cauchy
” Convergente. Pelo item (a),
é limitada. Então, pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, existe uma subsequência
que converge a algum
. Dado
, como
é Cauchy existe
com
. Como
, existe
tal que
. Seja
. Então, usando triangular,
Logo
.
Resposta
- Tomando
e aplicando a definição de limite em e , obtemos para todo .
11a) Sequência de Cauchy é limitada ao escolhere usar a desigualdade triangular.
11b) Não pode haver dois valores de aderência distintos, pois dois “balões” disjuntos violariam o critério de Cauchy.
11c) Sequência converge se, e somente se, é de Cauchy, mostrando cada implicação.