18 - Considere uma caixa de leite que está refrigerada a uma temperatura de T_{L}=5^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura na cozinha em um dia quente de verão é de T_{\infty}=30^{\circ} \mathrm{C}. Com as quatro paredes laterais da caixa com dimensões L=200 \mathrm{~mm} (altura) e w=100 \mathrm{~mm} (largura), determine a energia total transferida para a caixa de leite (considerando apenas as superficies laterais da caixa), na forma de calor, enquanto ela estiver sobre o balcão da cozinha por períodos de t=10 \mathrm{~s}, 60 s e 300 s antes de ser recolocada no refrigerador. O coeficiente convectivo associado à convecção natural nos lados da caixa é h=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. A emissividade destas superfícies é de 0,90 . Considere que a temperatura da caixa de leite permaneça a 5^{\circ} \mathrm{C} durante o processo.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado
  • Pedidos: determinar a energia total, na forma de calor, recebida pelas quatro paredes laterais da caixa enquanto ela fica sobre o balcão por t=10\\ \text{s}, t=60\\ \text{s} e t=300\\ \text{s}.
  • Hipótese do enunciado: a temperatura da caixa permanece constante em T_{L}=5^\circ\mathrm{C} durante todo o processo.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • Temperatura do ambiente (cozinha): T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}.
    • Altura das paredes laterais: L=200\\ \text{mm}.
    • Largura das paredes laterais: w=100\\ \text{mm}.
    • Coeficiente convectivo (convecção natural): h=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.
    • Emissividade das superfícies: \varepsilon=0{,}90.
  • Observação importante: considerar apenas as quatro superfícies laterais da caixa (cada uma com área L\times w). Não considerar tampas ou fundo.

Passo 2

Converter unidades e calcular a área total lateral
  • Converter L e w para metros: L=200\\ \text{mm}=0{,}200\\ \text{m},\qquad w=100\\ \text{mm}=0{,}100\\ \text{m}.
  • Área de uma face lateral: A_{\text{face}}=L\cdot w. A_{\text{face}}=0{,}200\cdot0{,}100=0{,}020\\ \mathrm{m}^2.
  • Como há quatro paredes laterais, a área total considerada é A=4\cdot A_{\text{face}}=4\cdot0{,}020=0{,}080\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Calor por convecção (fórmula e cálculo)
  • Conceito rápido: convecção é o transporte de calor entre uma superfície e o fluido adjacente (ar) devido à diferença de temperatura. Para convecção natural, usa-se a lei de Newton do resfriamento: \dot{Q}_{\text{conv}}=h\,A\,(T_{\infty}-T_{L}),onde \dot{Q}_{\text{conv}} é a potência (energia por segundo) recebida por convecção, h é o coeficiente convectivo, A é a área e T_{\infty}-T_{L} é a diferença de temperatura (em K; diferença em °C é numericamente igual).
  • Calcular a diferença de temperatura: T_{\infty}-T_{L}=30^\circ\mathrm{C}-5^\circ\mathrm{C}=25\\ \mathrm{K}.
  • Substituindo: \dot{Q}_{\text{conv}}=10\cdot0{,}080\cdot25=20{,}0\\ \mathrm{W}.Interpretação: por convecção a caixa recebe 20{,}0\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Calor por radiação (fórmula, constantes e conversão de temperatura)
  • Conceito rápido: por radiação térmica as superfícies trocam energia proporcional às quartas potências das temperaturas absolutas. A troca radiativa líquida entre uma superfície e o ambiente envidraçado pode ser aproximada por: \dot{Q}_{\text{rad}}=\varepsilon\,A\,\sigma\left(T_{\infty,K}^{4}-T_{L,K}^{4}\right),onde \varepsilon é a emissividade da superfície, \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e T_{\infty,K} e T_{L,K} são as temperaturas em kelvin.
  • Constante de Stefan–Boltzmann (valor usado): \sigma=5{,}670\times10^{-8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}^4.
  • Converter temperaturas para kelvin: T_{\infty,K}=30^\circ\mathrm{C}+273{,}15=303{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_{L,K}=5^\circ\mathrm{C}+273{,}15=278{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo numérico detalhado da potência radiativa
  • Para evitar fazer potências de 4 diretamente de números grandes, usar a identidade T_{\infty,K}^{4}-T_{L,K}^{4}=(T_{\infty,K}^{2}-T_{L,K}^{2})(T_{\infty,K}^{2}+T_{L,K}^{2}).
  • Calcular T_{\infty,K}^2 e T_{L,K}^2: T_{\infty,K}^2=303{,}15^2\approx91\,899{,}9225\\ \mathrm{K}^2, \qquad T_{L,K}^2=278{,}15^2\approx77\,367{,}4225\\ \mathrm{K}^2.
  • Diferença e soma: T_{\infty,K}^2-T_{L,K}^2\approx14\,532{,}5000, \qquad T_{\infty,K}^2+T_{L,K}^2\approx169\,267{,}3450.
  • Produto (logo T_{\infty,K}^4-T_{L,K}^4): T_{\infty,K}^{4}-T_{L,K}^{4}\approx2{,}459877691\times10^{9}\\ \mathrm{K}^4.
  • Agora aplicar a fórmula da radiação: \dot{Q}_{\text{rad}}=\varepsilon\,A\,\sigma\left(T_{\infty,K}^{4}-T_{L,K}^{4}\right).Substituindo números: \dot{Q}_{\text{rad}}=0{,}90\cdot0{,}080\cdot(5{,}670\times10^{-8})\cdot(2{,}459877691\times10^{9}).
  • Calcular passo a passo (aproximação numérica): \sigma\left(T_{\infty,K}^{4}-T_{L,K}^{4}\right)\approx5{,}670\times10^{-8}\times2{,}459877691\times10^{9}\approx139{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
\Rightarrow \dot{Q}_{\text{rad}}\approx0{,}90\cdot0{,}080\cdot139{,}5\approx10{,}04\\ \mathrm{W}.
Interpretação: por radiação a caixa recebe aproximadamente 10{,}04\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Somar contribuições e obter a potência total recebida
  • Potência total (convecção + radiação): \dot{Q}_{\text{total}}=\dot{Q}_{\text{conv}}+\dot{Q}_{\text{rad}}=20{,}0+10{,}04\approx30{,}04\\ \mathrm{W}.Interpretação: em regime praticamente constante (temperatura da caixa mantida em 5^\circ\mathrm{C}), a caixa recebe cerca de 30{,}04\\ \mathrm{J/s}.

Passo 7

Calcular a energia total recebida nos tempos pedidos
  • Energia recebida em tempo t é Q=\dot{Q}_{\text{total}}\cdot t.
  • Para t=10\\ \text{s}: Q_{10}=\;30{,}04\cdot10\approx300{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Para t=60\\ \text{s}: Q_{60}=\;30{,}04\cdot60\approx1\,802{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Para t=300\\ \text{s}: Q_{300}=\;30{,}04\cdot300\approx9\,012{,}0\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Comentário final, verificação rápida e incentivo
  • Ordem de grandeza conferida: convecção domina ( 20{,}0\\ \mathrm{W} vs 10{,}0\\ \mathrm{W} de radiação), soma razoável 30{,}0\\ \mathrm{W}.
  • Se precisar de valores mais precisos, pode-se refinar usando \sigma com mais casas ou calcular T^4 com calculadora; para uma prova esta precisão é suficiente.
  • Vai dar certo — respira e confia no passo a passo que fizemos 😃

Resposta

Q_{10}=300{,}4\\ \mathrm{J}
Q_{60}=1\,802{,}4\\ \mathrm{J}
Q_{300}=9\,012{,}0\\ \mathrm{J}

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