14- Qual a coordenada z do centroide do sólido delimitado abaixo pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e acima pelo plano x y ?
(a) \frac{1}{3}
(b) \frac{2}{3}
(c) \frac{4}{3}
(d) \frac{5}{3}
(e) NRA

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que temos de dados.
  • Pergunta: Qual a coordenada z do centroide do sólido delimitado pelo paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e pelo plano xy (isto é, pelo plano z=0)?
  • Informações relevantes dadas:
    • A superfície superior do sólido é o paraboloide \,z=4-x^{2}-y^{2}\,.
    • A superfície inferior é o plano xy, que é \,z=0\,.
    • A região projetada no plano xy (a base do sólido) é o disco definido por \,x^{2}+y^{2}\le 4\, (pois o paraboloide corta z=0 quando x^{2}+y^{2}=4), logo o raio é 2.
  • O que o enunciado pede exatamente: o valor de \bar z, a coordenada z do centroide do sólido.

Passo 2

Fórmulas e escolha de coordenadas (explicação didática).
  • A coordenada z do centroide de um sólido de massa uniforme é dada por
\bar z=\frac{1}{V}\iiint_{\mathcal{S}} z\,dV,
onde V=\iiint_{\mathcal{S}} dV é o volume do sólido e \mathcal{S} é a região do sólido.
  • Aqui z é a variável altura, dV é o elemento de volume e V é o volume total.
  • Para sólidos com simetria circular como este (paraboloide com base circular) é natural usar coordenadas cilíndricas:
    • x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.
    • O elemento de volume transforma-se em dV = r\,dz\,dr\,d\theta. O fator r é o jacobiano da transformação (explicação: áreas pequenas em coordenadas polares têm área aproximada r\,dr\,d\theta).
  • Limites em coordenadas cilíndricas:
    • \theta varia de 0 a 2\pi.
    • r varia de 0 a 2 (raio do disco).
    • Para cada (r,\theta), z varia de 0 até 4-r^{2}.
  • Primeiro calculamos o volume V, depois o momento \iiint z\,dV e por fim \bar z.

Passo 3

Cálculo do volume V.
  • Montando o integral em cilíndricas:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Integramos em z primeiro:
\int_{0}^{4-r^{2}} r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{4-r^{2}} = r(4-r^{2}).
  • Agora integrar em r e \theta:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r(4-r^{2})\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} (4r-r^{3})\,dr\right).
  • Calcule o integral em r:
\int_{0}^{2} (4r-r^{3})\,dr = \left[2r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{2} = \left(2\cdot 2^{2}-\tfrac{1}{4}\cdot 2^{4}\right) = \left(2\cdot 4 - \tfrac{1}{4}\cdot 16\right) = 8-4=4.
  • E \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Portanto
V = 2\pi\cdot 4 = 8\pi.

Passo 4

Cálculo do momento em z: I_z=\iiint_{\mathcal{S}} z\,dV.
  • Montamos o integral em cilíndricas:
I_z = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-r^{2}} z\; r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Integramos em z primeiro:
\int_{0}^{4-r^{2}} z\,r\,dz = r\left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{0}^{4-r^{2}} = \tfrac{r}{2}(4-r^{2})^{2}.
  • Logo
I_z = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \tfrac{r}{2}(4-r^{2})^{2}\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2} r(4-r^{2})^{2}\,dr\right).
  • Simplificamos retirando o 2\pi:
I_z = 2\pi\cdot \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2} r(4-r^{2})^{2}\,dr = \pi\int_{0}^{2} r(4-r^{2})^{2}\,dr.
  • Expandir o quadrado para integrar facilmente:
(4-r^{2})^{2}=16-8r^{2}+r^{4},
portanto
r(4-r^{2})^{2}=16r-8r^{3}+r^{5}.
  • Integramos termo a termo de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (16r-8r^{3}+r^{5})\,dr = \left[8r^{2}-2r^{4}+\tfrac{1}{6}r^{6}\right]_{0}^{2}.
  • Avaliando em r=2:
8\cdot 2^{2}-2\cdot 2^{4}+\tfrac{1}{6}\cdot 2^{6} =8\cdot 4 -2\cdot 16 + \tfrac{1}{6}\cdot 64 =32 -32 + \tfrac{64}{6} = \tfrac{64}{6} = \tfrac{32}{3}.
  • Portanto
I_z = \pi\cdot \tfrac{32}{3} = \tfrac{32\pi}{3}.

Passo 5

Cálculo final de \bar z e interpretação.
  • Usando \bar z=\dfrac{I_z}{V}:
\bar z = \frac{\tfrac{32\pi}{3}}{8\pi} = \frac{32}{3}\cdot\frac{1}{8} = \frac{4}{3}.
  • Interpretação curta: o centroide fica acima do plano z=0 a uma altura de \tfrac{4}{3} unidades (o sólido tem maior concentração de massa perto do topo do paraboloide, por isso \bar z não é pequeno).

Resposta

c) \tfrac{4}{3}

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