14- Qual a coordenada
do centroide do sólido delimitado abaixo pelo paraboloide
e acima pelo plano
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que temos de dados.
- Pergunta: Qual a coordenada
do centroide do sólido delimitado pelo paraboloide e pelo plano (isto é, pelo plano )? - Informações relevantes dadas:
- A superfície superior do sólido é o paraboloide
. - A superfície inferior é o plano
, que é . - A região projetada no plano
(a base do sólido) é o disco definido por (pois o paraboloide corta quando ), logo o raio é .
- A superfície superior do sólido é o paraboloide
- O que o enunciado pede exatamente: o valor de
, a coordenada do centroide do sólido.
Passo 2
Fórmulas e escolha de coordenadas (explicação didática).
- A coordenada
do centroide de um sólido de massa uniforme é dada por
onde
é o volume do sólido e
é a região do sólido.
- Aqui
é a variável altura, é o elemento de volume e é o volume total. - Para sólidos com simetria circular como este (paraboloide com base circular) é natural usar coordenadas cilíndricas:
-
, , . - O elemento de volume transforma-se em
. O fator é o jacobiano da transformação (explicação: áreas pequenas em coordenadas polares têm área aproximada ).
-
- Limites em coordenadas cilíndricas:
-
varia de a . -
varia de a (raio do disco). - Para cada
, varia de até .
-
- Primeiro calculamos o volume
, depois o momento e por fim .
Passo 3
Cálculo do volume
.
- Montando o integral em cilíndricas:
- Integramos em
primeiro:
- Agora integrar em
e :
- Calcule o integral em
:
- E
. Portanto
Passo 4
Cálculo do momento em
:
.
- Montamos o integral em cilíndricas:
- Integramos em
primeiro:
- Logo
- Simplificamos retirando o
:
- Expandir o quadrado para integrar facilmente:
portanto
- Integramos termo a termo de
a :
- Avaliando em
:
- Portanto
Passo 5
Cálculo final de
e interpretação.
- Usando
:
- Interpretação curta: o centroide fica acima do plano
a uma altura de unidades (o sólido tem maior concentração de massa perto do topo do paraboloide, por isso não é pequeno).
Resposta
c)