Resolver pelo método de separaçàc
e^{\prime} d x-y d y=0 ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
e^{x}\,dx - y\,dy = 0,\qquad y(0)=1.
O que se pede implicitamente é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro vamos interpretar a equação diferencial escrita na forma de diferencial total. A equação
e^{x}\,dx - y\,dy = 0
pode ser rearranjada para agrupar termos envolvendo x de um lado e termos envolvendo y do outro. Para isso somamos y\,dy em ambos os lados e obtemos
y\,dy = e^{x}\,dx.
Essa é a forma clássica de uma equação com variáveis separáveis: todos os termos com y estão no lado esquerdo e todos os termos com x no lado direito.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis correspondentes. Escrevemos a integral do lado esquerdo em y e do lado direito em x:
\int y\,dy = \int e^{x}\,dx.
Vou calcular cada integral passo a passo. A integral de y em relação a y é
\int y\,dy = \tfrac{1}{2}y^{2} + C_{1},
porque a regra é \int y^{n}\,dy = \tfrac{y^{n+1}}{n+1} e aqui n=1. A integral de e^{x} em relação a x é
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_{2},
pois a derivada de e^{x} é e^{x}.

Passo 4

Igualando as duas expressões integradas e reunindo constantes em uma só constante arbitrária C (fazendo C=C_{2}-C_{1}) obtemos
\tfrac{1}{2}y^{2} = e^{x} + C.
Essa é a solução geral implícita da equação diferencial.

Passo 5

Agora usamos a condição inicial y(0)=1 para determinar a constante C. Substituindo x=0 e y=1 na expressão anterior:
\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2} = e^{0} + C.
Como e^{0}=1, isso dá
\tfrac{1}{2} = 1 + C \quad\Rightarrow\quad C = -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo C=-\tfrac{1}{2} na solução implícita e isolando y^{2} temos
\tfrac{1}{2}y^{2} = e^{x} - \tfrac{1}{2}
e multiplicando por 2:
y^{2} = 2e^{x} - 1.

Passo 7

Tomando a raiz quadrada em ambos os lados obtemos as soluções explícitas
y(x) = \pm\sqrt{\,2e^{x}-1\,}.
Para decidir o sinal, usamos a condição inicial: em x=0 queremos y(0)=1. Calculando a raiz no ponto x=0:
\sqrt{\,2e^{0}-1\,}=\sqrt{2\cdot 1 -1}=\sqrt{1}=1.
Portanto devemos escolher o sinal positivo. Assim
y(x)=\sqrt{\,2e^{x}-1\,}.

Passo 8

Precisamos também verificar o domínio onde a solução é real: o radicando deve ser não negativo,
2e^{x}-1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad e^{x}\ge \tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x\ge \ln\!\tfrac{1}{2}=-\ln 2.
Logo a solução encontrada é válida para x\ge -\ln 2. Em particular o ponto x=0 pertence a esse domínio, então a condição inicial está bem definida.

Resposta

y(x)=\sqrt{\,2e^{x}-1\,},\quad x\ge -\ln 2

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