Resolver pelo método de separaçàc
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede implicitamente é encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro vamos interpretar a equação diferencial escrita na forma de diferencial total. A equação
pode ser rearranjada para agrupar termos envolvendo
de um lado e termos envolvendo
do outro. Para isso somamos
em ambos os lados e obtemos
Essa é a forma clássica de uma equação com variáveis separáveis: todos os termos com
estão no lado esquerdo e todos os termos com
no lado direito.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis correspondentes. Escrevemos a integral do lado esquerdo em
e do lado direito em
:
Vou calcular cada integral passo a passo. A integral de
em relação a
é
porque a regra é
e aqui
. A integral de
em relação a
é
pois a derivada de
é
.
Passo 4
Igualando as duas expressões integradas e reunindo constantes em uma só constante arbitrária
(fazendo
) obtemos
Essa é a solução geral implícita da equação diferencial.
Passo 5
Agora usamos a condição inicial
para determinar a constante
. Substituindo
e
na expressão anterior:
Como
, isso dá
Passo 6
Substituindo
na solução implícita e isolando
temos
e multiplicando por
:
Passo 7
Tomando a raiz quadrada em ambos os lados obtemos as soluções explícitas
Para decidir o sinal, usamos a condição inicial: em
queremos
. Calculando a raiz no ponto
:
Portanto devemos escolher o sinal positivo. Assim
Passo 8
Precisamos também verificar o domínio onde a solução é real: o radicando deve ser não negativo,
Logo a solução encontrada é válida para
. Em particular o ponto
pertence a esse domínio, então a condição inicial está bem definida.