5- Qual o valor de \int_{0}^{2 \sqrt{\pi}} \int_{y / 2}^{\sqrt{\pi}} \cos x^{2} d x d y ?
(a) 1
(b) 0
(d) 2 \pi
(e) NR

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\int_{0}^{2\sqrt{\pi}}\int_{y/2}^{\sqrt{\pi}}\cos x^{2}\,dx\,dy
e fornece as opções: (a) 1, (b) 0, (d) 2\pi, (e) NR.
Informações do enunciado que usarei:
  • O integrando é \cos x^{2}, que depende só de x.
  • A variável externa y varia em 0\le y\le 2\sqrt{\pi}.
  • Para cada y, a variável interna x varia em y/2\le x\le \sqrt{\pi}.

Passo 2

Descrição da região de integração no plano (x,y). A região D é formada pelos pontos que satisfazem simultaneamente:
0\le y\le 2\sqrt{\pi},\qquad \frac{y}{2}\le x\le \sqrt{\pi}.
Vou reescrever essas condições para obter limites em ordem dx\,dy trocados (ou seja, para integrar primeiro em y e depois em x). A desigualdade \dfrac{y}{2}\le x é equivalente a y\le 2x. Juntando com y\ge 0 e x\le \sqrt{\pi} obtemos:
0\le y\le 2x,\qquad 0\le x\le \sqrt{\pi}.
Portanto, ao trocar a ordem de integração o intervalo de x é [0,\sqrt{\pi}] e, para cada x, y varia de 0 até 2x.
Obs.: a troca de ordem é permitida porque o integrando \cos x^{2} é contínuo no retângulo que contém D, então não há problema em aplicar Fubini/Tonelli.

Passo 3

Escrever a integral com a ordem trocada usando os limites que encontramos:
\int_{0}^{2\sqrt{\pi}}\int_{y/2}^{\sqrt{\pi}}\cos x^{2}\,dx\,dy = \int_{0}^{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{2x}\cos x^{2}\,dy\,dx.
Aqui a integração interna agora é em y, e como o integrando não depende de y essa integração é imediata.

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{2x}\cos x^{2}\,dy = \biggl[y\biggr]_{0}^{2x}\cos x^{2} = (2x)\cos x^{2}.
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}2x\cos x^{2}\,dx.

Passo 5

Resolver a integral simples por substituição. Faça a substituição
u = x^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Quando x=0 temos u=0. Quando x=\sqrt{\pi} temos u=\pi. Assim
\int_{0}^{\sqrt{\pi}}2x\cos x^{2}\,dx = \int_{0}^{\pi}\cos u\,du.

Passo 6

Calcular a integral de \cos u:
\int_{0}^{\pi}\cos u\,du = \bigl[\sin u\bigr]_{0}^{\pi} = \sin\pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0.
Logo o valor da integral dupla original é 0.

Resposta

(b) 0

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