5- Qual o valor de
?
(a) 1
(b) 0
(d)
(e) NR
(a) 1
(b) 0
(d)
(e) NR
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
e fornece as opções: (a)
, (b)
, (d)
, (e) NR.
Informações do enunciado que usarei:
- O integrando é
, que depende só de . - A variável externa
varia em . - Para cada
, a variável interna varia em .
Passo 2
Descrição da região de integração no plano
. A região
é formada pelos pontos que satisfazem simultaneamente:
Vou reescrever essas condições para obter limites em ordem
trocados (ou seja, para integrar primeiro em
e depois em
). A desigualdade
é equivalente a
. Juntando com
e
obtemos:
Portanto, ao trocar a ordem de integração o intervalo de
é
e, para cada
,
varia de
até
.
Obs.: a troca de ordem é permitida porque o integrando
é contínuo no retângulo que contém
, então não há problema em aplicar Fubini/Tonelli.
Passo 3
Escrever a integral com a ordem trocada usando os limites que encontramos:
Aqui a integração interna agora é em
, e como o integrando não depende de
essa integração é imediata.
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 5
Resolver a integral simples por substituição. Faça a substituição
Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Passo 6
Calcular a integral de
:
Logo o valor da integral dupla original é
.
Resposta
(b) 0