EXERCÍCIO 1.21 Calcule o potencial V(x) numa região onde \vec{E}=E_{0} \hat{x}, considerando E_{0}=10 \mathrm{~N} / \mathrm{C} \equiv 10 \mathrm{~V} / \mathrm{m} e V\left(x_{i}=0\right)=0. Qual é o sentido do movimento de um elétron abandonado nessa região?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (listei exatamente as informações fornecidas):
  • Campo elétrico uniforme: \vec{E}=E_{0}\,\hat{x}.
  • Valor numérico: E_{0}=10\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}\equiv10\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
  • Condição de referência: V\bigl(x_{i}=0\bigr)=0.
    As perguntas são:
  1. Calcular o potencial V(x) nessa região (com a condição dada).
  2. Determinar o sentido do movimento de um elétron largado nessa região.

Passo 2

Relação entre campo elétrico e potencial — explicação didática:
  • O potencial elétrico V é uma função escalar tal que o campo elétrico é o negativo do gradiente de V.
  • Em uma situação unidimensional ao longo do eixo x isso vira a relação
\vec{E}=E_x\,\hat{x}\quad\text{com}\quad E_x = -\frac{dV}{dx}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \vec{E} é o campo elétrico vetorial (em \mathrm{N}/\mathrm{C} ou \mathrm{V}/\mathrm{m});
    • E_x é a componente do campo na direção x;
    • V(x) é o potencial elétrico em volts ( \mathrm{V});
    • \dfrac{dV}{dx} é a derivada de V em relação a x, indicando como o potencial varia no espaço.
  • Intuição física curta: o campo aponta na direção de queda do potencial; a fórmula tem sinal negativo porque \vec{E} “puxa” cargas positivas para onde V diminui.

Passo 3

Aplicando a relação ao caso dado (desenvolvimento passo a passo):
  • Sabemos que E_x=E_{0} é constante e positiva (campo no sentido +\hat{x}). Portanto
E_x = -\frac{dV}{dx} = E_{0}.
  • Isolando a derivada:
\frac{dV}{dx} = -E_{0}.
  • Integramos ambos os lados em relação a x. Integração passo a passo:
\int \frac{dV}{dx}\,dx = \int -E_{0}\,dx.
  • O lado esquerdo dá V(x) (mais uma constante), o direito dá -E_{0}x + C. Assim obtemos a família de potenciais
V(x) = -E_{0}\,x + C,
onde C é constante de integração (em volts).

Passo 4

Usando a condição de referência para achar a constante:
  • A condição dada é V\bigl(x_{i}=0\bigr)=0. Substituindo em \;V(x)= -E_{0}x + C\;:
0 = V(0) = -E_{0}\cdot 0 + C \quad\Rightarrow\quad C=0.
  • Logo o potencial fixado pela condição é
V(x) = -E_{0}\,x.
  • Substituindo o valor numérico de E_{0}=10\\ \mathrm{V}/\mathrm{m} obtemos
V(x) = -10\,x\quad(\text{volts, com }x\text{ em metros}).
  • Exemplo numérico rápido para fixar: em x=0{,}1\\ \mathrm{m} tem-se V(0{,}1)=-10\times0{,}1=-1\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Força sobre o elétron e direção do movimento — explicação física:
  • A força elétrica sobre uma carga q é \vec{F}=q\,\vec{E}.
  • Para o elétron, q=-e com e o elemento de carga positiva; numericamente e\approx1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Substituindo:
\vec{F} = (-e)\,E_{0}\,\hat{x} = -\bigl(eE_{0}\bigr)\,\hat{x}.
  • Como eE_{0}>0, a força aponta na direção -\hat{x}, ou seja, exatamente oposta ao campo elétrico (porque o elétron tem carga negativa).
  • Portanto, um elétron largado sem velocidade inicial será acelerado para o lado negativo do eixo x (sentido -\hat{x}).
  • Magnitude da força (só para intuir a ordem): F=eE_{0}\approx(1{,}602\times10^{-19})(10)\approx1{,}602\times10^{-18}\\ \mathrm{N}. A aceleração seria a=F/m_e (com m_e\approx9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}), um valor muito grande numericamente, mostrando que mesmo campos modestos aceleram muito o elétron.

Resposta

V(x) = -10\,x\\ \text{(volt, com \(x em metros)})
Um elétron largado nessa região mover-se-á no sentido -\hat{x} (ou seja, para valores decrescentes de x).

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