(14) Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que ele dá.
- Função dada:
. - O enunciado pede:
- explicitar o domínio de
; - localizar as raízes de
; - determinar intervalos de crescimento e decrescimento;
- estudar a concavidade e destacar pontos de inflexão;
- determinar as assíntotas (se existirem), calculando todos os limites necessários;
- esboçar o gráfico (apontando comportamento e limites essenciais).
- explicitar o domínio de
Passo 2
Determinar o domínio: a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero,
portanto resolveremos a desigualdade
portanto resolveremos a desigualdade
Vamos fatorar o polinômio. Procura-se dois números cujo produto seja
e soma seja
; são
e
. Assim
A desigualdade
é satisfeita quando
ou
. Logo o domínio é
Explicação rápida do método: achamos as raízes
e
e usamos a regra do sinal de um produto de dois fatores lineares (sinal positivo fora das raízes).
Passo 3
Localizar as raízes da função
. Temos
quando a raiz quadrada é zero, isto é, quando
As soluções dessa equação são
e
(já encontradas na fatoração). Ambas pertencem ao domínio, então as raízes da função são
com
e
.
Passo 4
Derivada primeira e monotonicidade — fórmula e aplicação. Regra que vamos usar: se
, então, para
,
Aqui
e
. Assim, onde
(i.e. interior do domínio),
Observações essenciais:
- O denominador é positivo sempre que estamos em pontos interiores do domínio (pois a raiz é positiva), então o sinal de
é o mesmo do numerador . -
não está definida nos pontos onde (ou seja, em e ) porque aí o denominador é zero.
Agora o estudo do sinal de
:
- A equação
tem solução , que NÃO pertence ao domínio . - Para
(no intervalo ) temos , logo : é decrescente em . - Para
(no intervalo ) temos , logo : é crescente em .
Conclusão sobre monotonicidade:
Comentário sobre os pontos
e
: como em cada componente (à esquerda de
e à direita de
) a função tende para valores maiores e chega a
nesses pontos, cada um desses pontos é um mínimo (mínimo absoluto na sua componente) com valor
. Além disso a derivada tende a infinito em magnitude perto desses pontos: explicitamente,
pois o numerador tende para números finitos (
e
, respectivamente) enquanto o denominador tende a
.
Passo 5
Derivada segunda e concavidade — cálculo passo a passo. Partimos de
Para facilitar a diferenciação, escrevemos
Aplicamos a regra do produto (ou a regra da derivada de um quociente diretamente). Seja
e
. Então
e, usando a regra da cadeia,
Logo, por produto,
Simplificando o segundo termo:
Fatorando
obtemos
Agora calculamos a expressão entre parênteses:
Portanto,
Interpretação e concavidade:
- Em todos os pontos do domínio
temos , logo o denominador é positivo e em toda . - Conclusão:
é estritamente côncava para baixo (concavidade negativa) em cada componente do domínio e . - Como
não se anula em nenhum ponto do domínio e não muda de sinal, não existem pontos de inflexão na função (um ponto de inflexão precisa de mudança de concavidade).
Passo 6
Assíntotas oblíquas e limites no infinito — técnica e cálculo. Vamos estudar o comportamento para
e
.
Primeiro,
. Uma técnica útil é calcular
Usamos a forma com conjugado:
Para
o numerador
e o denominador
, portanto
Isto significa que existe uma assíntota oblíqua quando
dada pela reta
Mais formalmente,
.
Agora,
. Calculamos
Novamente usamos o conjugado:
Para
o numerador
e o denominador
, portanto
Isto dá a assíntota oblíqua para
:
Observações adicionais sobre assíntotas verticais: não existem assíntotas verticais porque a função não tende a
em nenhum ponto do fecho do domínio; nos pontos de fronteira
e
os limites laterais (pelas direções permitidas no domínio) são finitos (veja passo seguinte).
Passo 7
Limites nos pontos de fronteira do domínio e comportamento próximo às extremidades:
- Aproximações próximas aos pontos onde a raiz fica zero:
O limite pela direita de
não existe porque
pertence ao intervalo excluído
(fora do domínio).
Limites no infinito (resumo):
Isto confirma as assíntotas descritas no passo anterior.
Passo 8
Pontos notáveis e alguns valores para ajudar no esboço:
-
, . - Exemplo de valores para plotagem:
-
. -
. -
. -
.
-
- Comportamento: curva côncava para baixo em cada componente do domínio, decresce até
chegando a com tangente vertical (declive ), depois “pausa” (intervalo excluído ), reaparece em em com tangente vertical positiva (declive ), e cresce para aproximando-se da reta . À esquerda tende para quando aproximando-se da reta .
Resposta
Domínio:
Raízes:
e
Crescimento/decrescimento:
é decrescente em
e crescente em
Concavidade e pontos de inflexão:
para todo
; portanto
é côncava para baixo em ambas as componentes do domínio e não possui pontos de inflexão
Assíntotas:
- Para
: assíntota oblíqua - Para
: assíntota oblíqua - Não há assíntotas verticais
Limites importantes: