(14) Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
f(x)=\sqrt{x^{2}+x-2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Função dada: f(x)=\sqrt{x^{2}+x-2}.
  • O enunciado pede:
    • explicitar o domínio de f;
    • localizar as raízes de f;
    • determinar intervalos de crescimento e decrescimento;
    • estudar a concavidade e destacar pontos de inflexão;
    • determinar as assíntotas (se existirem), calculando todos os limites necessários;
    • esboçar o gráfico (apontando comportamento e limites essenciais).

Passo 2

Determinar o domínio: a expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero,
portanto resolveremos a desigualdade
x^{2}+x-2 \ge 0.
Vamos fatorar o polinômio. Procura-se dois números cujo produto seja -2 e soma seja 1; são -1 e 2. Assim
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
A desigualdade (x+2)(x-1)\ge0 é satisfeita quando x\le -2 ou x\ge 1. Logo o domínio é
\mathcal{D} = (-\infty,-2]\cup[1,\infty).
Explicação rápida do método: achamos as raízes -2 e 1 e usamos a regra do sinal de um produto de dois fatores lineares (sinal positivo fora das raízes).

Passo 3

Localizar as raízes da função f. Temos f(x)=0 quando a raiz quadrada é zero, isto é, quando
x^{2}+x-2=0.
As soluções dessa equação são x=-2 e x=1 (já encontradas na fatoração). Ambas pertencem ao domínio, então as raízes da função são
x=-2\quad\text{e}\quad x=1,
com f(-2)=0 e f(1)=0.

Passo 4

Derivada primeira e monotonicidade — fórmula e aplicação. Regra que vamos usar: se f(x)=\sqrt{u(x)}=\bigl(u(x)\bigr)^{1/2}, então, para u(x)>0,
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Aqui u(x)=x^{2}+x-2 e u'(x)=2x+1. Assim, onde u(x)>0 (i.e. interior do domínio),
f'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x-2}}.
Observações essenciais:
  • O denominador é positivo sempre que estamos em pontos interiores do domínio (pois a raiz é positiva), então o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador 2x+1.
  • f'(x) não está definida nos pontos onde x^{2}+x-2=0 (ou seja, em x=-2 e x=1) porque aí o denominador é zero.
Agora o estudo do sinal de 2x+1:
  • A equação 2x+1=0 tem solução x=-\tfrac{1}{2}, que NÃO pertence ao domínio \mathcal{D}.
  • Para x<-2 (no intervalo (-\infty,-2)) temos 2x+1<0, logo f'(x)<0: f é decrescente em (-\infty,-2).
  • Para x>1 (no intervalo (1,\infty)) temos 2x+1>0, logo f'(x)>0: f é crescente em (1,\infty).
Conclusão sobre monotonicidade:
\text{\(f\) é decrescente em }(-\infty,-2)\quad\text{e crescente em }(1,\infty).é
Comentário sobre os pontos x=-2 e x=1: como em cada componente (à esquerda de -2 e à direita de 1) a função tende para valores maiores e chega a 0 nesses pontos, cada um desses pontos é um mínimo (mínimo absoluto na sua componente) com valor 0. Além disso a derivada tende a infinito em magnitude perto desses pontos: explicitamente,
\lim_{x\to -2^{-}} f'(x) = -\infty,\qquad \lim_{x\to 1^{+}} f'(x)=+\infty,
pois o numerador tende para números finitos ( -3 e 3, respectivamente) enquanto o denominador tende a 0^{+}.

Passo 5

Derivada segunda e concavidade — cálculo passo a passo. Partimos de
f'(x)=\frac{2x+1}{2\,(x^{2}+x-2)^{1/2}}.
Para facilitar a diferenciação, escrevemos
f'(x)=\frac{2x+1}{2}\,(x^{2}+x-2)^{-1/2}.
Aplicamos a regra do produto (ou a regra da derivada de um quociente diretamente). Seja u(x)=\dfrac{2x+1}{2} e v(x)=(x^{2}+x-2)^{-1/2}. Então u'(x)=1 e, usando a regra da cadeia,
v'(x) = -\tfrac{1}{2}(x^{2}+x-2)^{-3/2}\cdot(2x+1).
Logo, por produto,
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = (x^{2}+x-2)^{-1/2} - \frac{2x+1}{2}\cdot\frac{1}{2}(2x+1)\,(x^{2}+x-2)^{-3/2}.
Simplificando o segundo termo:
\frac{2x+1}{2}\cdot\frac{1}{2}(2x+1)=\frac{(2x+1)^{2}}{4}.
Fatorando (x^{2}+x-2)^{-3/2} obtemos
f''(x)=(x^{2}+x-2)^{-3/2}\left((x^{2}+x-2)-\frac{(2x+1)^{2}}{4}\right).
Agora calculamos a expressão entre parênteses:
(x^{2}+x-2)-\frac{(2x+1)^{2}}{4} = x^{2}+x-2 - \left(x^{2}+x+\tfrac{1}{4}\right) = -2-\tfrac{1}{4} = -\tfrac{9}{4}.
Portanto,
f''(x) = -\frac{9}{4}\,(x^{2}+x-2)^{-3/2} = -\frac{9}{4\,(x^{2}+x-2)^{3/2}}.
Interpretação e concavidade:
  • Em todos os pontos do domínio \mathcal{D} temos x^{2}+x-2>0, logo o denominador é positivo e f''(x)<0 em toda \mathcal{D}.
  • Conclusão: f é estritamente côncava para baixo (concavidade negativa) em cada componente do domínio (-\infty,-2) e (1,\infty).
  • Como f''(x) não se anula em nenhum ponto do domínio e não muda de sinal, não existem pontos de inflexão na função (um ponto de inflexão precisa de mudança de concavidade).

Passo 6

Assíntotas oblíquas e limites no infinito — técnica e cálculo. Vamos estudar o comportamento para x\to+\infty e x\to -\infty.
Primeiro, x\to+\infty. Uma técnica útil é calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-x\bigr).
Usamos a forma com conjugado:
f(x)-x=\sqrt{x^{2}+x-2}-x =\frac{x^{2}+x-2-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x-2}+x} =\frac{x-2}{\sqrt{x^{2}+x-2}+x}.
Para x\to+\infty o numerador \sim x e o denominador \sim 2x, portanto
\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-x\bigr)=\tfrac{1}{2}.
Isto significa que existe uma assíntota oblíqua quando x\to+\infty dada pela reta
y = x + \tfrac{1}{2}.
Mais formalmente, \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(x+\tfrac{1}{2})\bigr)=0.
Agora, x\to -\infty. Calculamos
\lim_{x\to -\infty}\bigl(f(x)+x\bigr).
Novamente usamos o conjugado:
f(x)+x=\sqrt{x^{2}+x-2}+x =\frac{x^{2}+x-2-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x-2}-x} =\frac{x-2}{\sqrt{x^{2}+x-2}-x}.
Para x\to -\infty o numerador \sim x e o denominador \sim -2x, portanto
\lim_{x\to -\infty}\bigl(f(x)+x\bigr)=-\tfrac{1}{2}.
Isto dá a assíntota oblíqua para x\to -\infty:
y = -x - \tfrac{1}{2}.
Observações adicionais sobre assíntotas verticais: não existem assíntotas verticais porque a função não tende a \pm\infty em nenhum ponto do fecho do domínio; nos pontos de fronteira -2 e 1 os limites laterais (pelas direções permitidas no domínio) são finitos (veja passo seguinte).

Passo 7

Limites nos pontos de fronteira do domínio e comportamento próximo às extremidades:
  • Aproximações próximas aos pontos onde a raiz fica zero:
\lim_{x\to -2^{-}} f(x)=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)-2}=\sqrt{0}=0.
O limite pela direita de -2 não existe porque -2^{+} pertence ao intervalo excluído (-2,1) (fora do domínio).
\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\sqrt{1^{2}+1-2}=\sqrt{0}=0.
Limites no infinito (resumo):
\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(x+\tfrac{1}{2})\bigr)=0,\qquad \lim_{x\to -\infty}\bigl(f(x)+x+\tfrac{1}{2}\bigr)=0.
Isto confirma as assíntotas descritas no passo anterior.

Passo 8

Pontos notáveis e alguns valores para ajudar no esboço:
  • f(-2)=0, f(1)=0.
  • Exemplo de valores para plotagem:
    • f(-3)=\sqrt{9-3-2}=\sqrt{4}=2.
    • f(-4)=\sqrt{16-4-2}=\sqrt{10}\approx 3{,}16.
    • f(2)=\sqrt{4+2-2}=\sqrt{4}=2.
    • f(3)=\sqrt{9+3-2}=\sqrt{10}\approx 3{,}16.
  • Comportamento: curva côncava para baixo em cada componente do domínio, decresce até x=-2 chegando a 0 com tangente vertical (declive -\infty), depois “pausa” (intervalo excluído (-2,1)), reaparece em x=1 em 0 com tangente vertical positiva (declive +\infty), e cresce para +\infty aproximando-se da reta y=x+\tfrac{1}{2}. À esquerda tende para +\infty quando x\to -\infty aproximando-se da reta y=-x-\tfrac{1}{2}.

Resposta

Domínio: (-\infty,-2]\cup[1,\infty)
Raízes: x=-2 e x=1
Crescimento/decrescimento: f é decrescente em (-\infty,-2) e crescente em (1,\infty)
Concavidade e pontos de inflexão: f''(x)=-\dfrac{9}{4\,(x^{2}+x-2)^{3/2}}<0 para todo x\in\mathcal{D}; portanto f é côncava para baixo em ambas as componentes do domínio e não possui pontos de inflexão
Assíntotas:
  • Para x\to+\infty: assíntota oblíqua y=x+\tfrac{1}{2}
  • Para x\to -\infty: assíntota oblíqua y=-x-\tfrac{1}{2}
  • Não há assíntotas verticais
Limites importantes:
\displaystyle \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=0,\quad \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=0,\quad \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-x\bigr)=\tfrac{1}{2},\quad \lim_{x\to -\infty}\bigl(f(x)+x\bigr)=-\tfrac{1}{2}.

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