Ache os valores de máximo e mínimo das funções abaixo, nos intervalos indicados:
f(x)=\sqrt{x^{2}-x} no intervalo [1,5].

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores de máximo e mínimo da função f(x)=\sqrt{x^{2}-x} no intervalo [1,5].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt{x^{2}-x}.
  • O intervalo considerado é [1,5].
  • Deve-se determinar onde f atinge seu mínimo e seu máximo dentro desse intervalo e quais são esses valores.

Passo 2

Verificar a existência e o domínio da função (isso é importante porque a raiz quadrada exige que a expressão dentro dela seja não negativa).
A expressão dentro da raiz é x^{2}-x. Vamos estudar a desigualdade
x^{2}-x \ge 0.
Fatorando:
x^{2}-x = x(x-1).
A desigualdade x(x-1)\ge 0 é satisfeita quando x\le 0 ou x\ge 1. Logo o domínio natural da função é
(-\infty,0]\cup[1,\infty).
Como o intervalo de estudo [1,5] está contido em [1,\infty), a função está bem definida em todo o intervalo [1,5]. Portanto não há problema em avaliar f em qualquer ponto desse intervalo.

Passo 3

Para achar extremos de uma função em um intervalo fechado usamos: pontos críticos no interior (onde f'(x)=0 ou f' não existe) e os extremos nos extremos do intervalo. Vamos calcular f'(x) (derivada) e explicar a regra usada.
Regra usada (cadeia): se f(x)=\sqrt{u(x)}=(u(x))^{1/2}, então
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Aqui u(x)=x^{2}-x, então u'(x)=2x-1. Aplicando a fórmula:
f'(x)=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x}}.
Observação: a derivada está definida apenas onde o denominador é não nulo (ou seja, onde \sqrt{x^{2}-x}\neq 0). O denominador zera quando x^{2}-x=0, isto é, x=0 ou x=1. Dos dois, x=1 pertence ao nosso intervalo [1,5]; nesse ponto f' não existe (denominador zero). Entretanto x=1 é um extremo do intervalo (endpoint), que será tratado separadamente.

Passo 4

Determinar pontos críticos no interior do intervalo (1,5).
  • Zeros da derivada ocorrem quando o numerador é zero:
2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Mas x=\tfrac{1}{2} NÃO pertence ao intervalo (1,5), portanto não é um ponto crítico relevante aqui.
  • Pontos onde f' não existe dentro do intervalo: como visto, f' não existe em x=1, porém x=1 é um endpoint (limite do intervalo), não um ponto interior. Não há outros pontos de não diferenciabilidade em (1,5).
Conclusão: não há pontos críticos no interior aberto (1,5). Assim os únicos candidatos a extremos no intervalo fechado [1,5] são os extremos do intervalo: x=1 e x=5.

Passo 5

Para reforçar a conclusão, analisamos o sinal de f'(x) em (1,5) para verificar monotonicidade.
Para x\in(1,5):
  • O numerador 2x-1 é positivo porque 2x-1>2\cdot1-1=1-? (mais direto: para x\ge 1 tem-se 2x-1\ge 1>0).
  • O denominador 2\sqrt{x^{2}-x} é positivo para x>1 (já que a raiz de uma quantidade positiva é positiva).
Logo f'(x)>0 para todo x\in(1,5). Isso significa que f é estritamente crescente em (1,5). Para uma função estritamente crescente em um intervalo, o mínimo no intervalo fechado acontece no extremo esquerdo e o máximo no extremo direito. Portanto:
  • mínimo em x=1,
  • máximo em x=5.

Passo 6

Calcular os valores da função nos extremos do intervalo.
Avaliar em x=1:
f(1)=\sqrt{1^{2}-1}=\sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0.
Avaliar em x=5:
f(5)=\sqrt{5^{2}-5}=\sqrt{25-5}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 7

Interpretação final: como f é crescente em (1,5) e está definida em [1,5], o menor valor ocorre em x=1 e o maior em x=5. Os valores são os calculados no passo anterior.

Resposta

Mínimo: f(1)=0 em x=1
Máximo: f(5)=2\sqrt{5} em x=5

Exercícios relacionados