Ache os valores de máximo e mínimo das funções abaixo, nos intervalos indicados:
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores de máximo e mínimo da função
no intervalo
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - Deve-se determinar onde
atinge seu mínimo e seu máximo dentro desse intervalo e quais são esses valores.
Passo 2
Verificar a existência e o domínio da função (isso é importante porque a raiz quadrada exige que a expressão dentro dela seja não negativa).
A expressão dentro da raiz é
. Vamos estudar a desigualdade
Fatorando:
A desigualdade
é satisfeita quando
ou
. Logo o domínio natural da função é
Como o intervalo de estudo
está contido em
, a função está bem definida em todo o intervalo
. Portanto não há problema em avaliar
em qualquer ponto desse intervalo.
Passo 3
Para achar extremos de uma função em um intervalo fechado usamos: pontos críticos no interior (onde
ou
não existe) e os extremos nos extremos do intervalo. Vamos calcular
(derivada) e explicar a regra usada.
Regra usada (cadeia): se
, então
Aqui
, então
. Aplicando a fórmula:
Observação: a derivada está definida apenas onde o denominador é não nulo (ou seja, onde
). O denominador zera quando
, isto é,
ou
. Dos dois,
pertence ao nosso intervalo
; nesse ponto
não existe (denominador zero). Entretanto
é um extremo do intervalo (endpoint), que será tratado separadamente.
Passo 4
Determinar pontos críticos no interior do intervalo
.
- Zeros da derivada ocorrem quando o numerador é zero:
Mas
NÃO pertence ao intervalo
, portanto não é um ponto crítico relevante aqui.
- Pontos onde
não existe dentro do intervalo: como visto, não existe em , porém é um endpoint (limite do intervalo), não um ponto interior. Não há outros pontos de não diferenciabilidade em .
Conclusão: não há pontos críticos no interior aberto
. Assim os únicos candidatos a extremos no intervalo fechado
são os extremos do intervalo:
e
.
Passo 5
Para reforçar a conclusão, analisamos o sinal de
em
para verificar monotonicidade.
Para
:
- O numerador
é positivo porque (mais direto: para tem-se ). - O denominador
é positivo para (já que a raiz de uma quantidade positiva é positiva).
Logo
para todo
. Isso significa que
é estritamente crescente em
. Para uma função estritamente crescente em um intervalo, o mínimo no intervalo fechado acontece no extremo esquerdo e o máximo no extremo direito. Portanto:
- mínimo em
, - máximo em
.
Passo 6
Calcular os valores da função nos extremos do intervalo.
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Passo 7
Interpretação final: como
é crescente em
e está definida em
, o menor valor ocorre em
e o maior em
. Os valores são os calculados no passo anterior.
Resposta
Mínimo:
em
Máximo: em
Máximo: