(13) Seja f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} uma função contínua em [a, b] e derivável em ] a, b[. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
Se f^{\prime}\text{(c)}=0, então c é ponto de máximo ou mínimo local de f.

Passo 1

O enunciado dá que f:[a,b]\to\mathbb{R} é contínua em [a,b] e derivável em ]a,b[. Pergunta-se se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, com justificativa:
Se f^{\prime}\text{(c)}=0, então c é ponto de máximo ou mínimo local de f.
Vou decidir (verdadeiro/falso) e justificar com argumentos e exemplos.

Passo 2

Primeiro um lembrete útil (teorema de Fermat, que costuma aparecer em provas): se f tem um extremo local em c e c\in]a,b[, então necessariamente f^{\prime}\text{(c)}=0. Em palavras: ter extremo local implica ser ponto crítico (derivada zero) — isto é uma condição necessária.
Explicação curta de por que isso é verdade: se c é mínimo local, então para h pequeno temos f(c+h)\ge f\text{(c)}. Dividindo por h>0 e fazendo limite h\to0^+ obtemos um limite não-negativo; fazendo para h<0 obtemos limite não-positivo; como ambos os limites existem e são iguais ao f'\text{(c)}, segue f'\text{(c)}=0.
Importante: o teorema dá apenas uma condição necessária, não diz que a condição é suficiente. A questão pede justamente avaliar essa suficiência.

Passo 3

Afirmativa é falsa: f^{\prime}\text{(c)}=0 não garante que c seja extremo local. Vou dar um contraexemplo clássico, bem simples e totalmente legal para a hipótese.
Considere f(x)=x^{3}, definida em \mathbb{R} (logo é contínua em [a,b] e derivável em ]a,b[ para qualquer intervalo). Calcula-se a derivada:
f'(x)=3x^{2}.
Em particular f'(0)=3\cdot 0^{2}=0. No entanto, 0 não é nem máximo nem mínimo local: escolha qualquer \varepsilon>0 pequeno; então
f(-\varepsilon)=-\varepsilon^{3}<0=f(0)<\varepsilon^{3}=f(\varepsilon),
ou seja, em toda vizinhança de 0 existem pontos com valores menores e pontos com valores maiores que f(0). Logo 0 não é extremo local. Isso mostra que a afirmativa é falsa.

Passo 4

Para consolidar a ideia, compare com exemplos onde f'\text{(c)}=0 realmente dá extremo:
  • f(x)=x^{2}: f'(x)=2x, então f'(0)=0 e 0 é mínimo local.
  • f(x)=-x^{2}: f'(0)=0 e 0 é máximo local.
Como distinguir no exame quando f'\text{(c)}=0 é suficiente? Dois métodos práticos:
  1. Teste da derivada segunda: se f''\text{(c)} existe,
    • se f''\text{(c)}>0 então c é mínimo local;
    • se f''\text{(c)}<0 então c é máximo local;
    • se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.
      Intuição: f''\text{(c)} mede curvatura; positivo indica “taça virada para cima” (mínimo).
  2. Teste do sinal da primeira derivada: verificar o sinal de f' à esquerda e à direita de c.
    • se f' muda de negativo para positivo em c, há mínimo;
    • se muda de positivo para negativo, há máximo;
    • se não há mudança de sinal (por exemplo f'\ge0 em ambos os lados), então não há extremo (pode ser ponto de inflexão com tangente horizontal, como em x^{3}).

Passo 5

Resumo pedagógico e dica para prova: nunca afirme que f'\text{(c)}=0 implica extremo sem verificar mais informação. Em prova, ao encontrar f'\text{(c)}=0 faça pelo menos um dos seguintes: aplicar o teste da segunda derivada (se existir) ou analisar sinais de f' em ambos os lados de c. Essas são maneiras rápidas e seguras de concluir se há um extremo.

Resposta

Falso.

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