(13) Seja
uma função contínua em
e derivável em
. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
Se
, então
é ponto de máximo ou mínimo local de
.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
é contínua em
e derivável em
. Pergunta-se se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, com justificativa:
Se
, então
é ponto de máximo ou mínimo local de
.
Vou decidir (verdadeiro/falso) e justificar com argumentos e exemplos.
Passo 2
Primeiro um lembrete útil (teorema de Fermat, que costuma aparecer em provas): se
tem um extremo local em
e
, então necessariamente
. Em palavras: ter extremo local implica ser ponto crítico (derivada zero) — isto é uma condição necessária.
Explicação curta de por que isso é verdade: se
é mínimo local, então para
pequeno temos
. Dividindo por
e fazendo limite
obtemos um limite não-negativo; fazendo para
obtemos limite não-positivo; como ambos os limites existem e são iguais ao
, segue
.
Importante: o teorema dá apenas uma condição necessária, não diz que a condição é suficiente. A questão pede justamente avaliar essa suficiência.
Passo 3
Afirmativa é falsa:
não garante que
seja extremo local. Vou dar um contraexemplo clássico, bem simples e totalmente legal para a hipótese.
Considere
, definida em
(logo é contínua em
e derivável em
para qualquer intervalo). Calcula-se a derivada:
Em particular
. No entanto,
não é nem máximo nem mínimo local: escolha qualquer
pequeno; então
ou seja, em toda vizinhança de
existem pontos com valores menores e pontos com valores maiores que
. Logo
não é extremo local. Isso mostra que a afirmativa é falsa.
Passo 4
Para consolidar a ideia, compare com exemplos onde
realmente dá extremo:
-
: , então e é mínimo local. -
: e é máximo local.
Como distinguir no exame quando
é suficiente? Dois métodos práticos:
- Teste da derivada segunda: se
existe, - se
então é mínimo local; - se
então é máximo local; - se
o teste é inconclusivo.
Intuição:mede curvatura; positivo indica “taça virada para cima” (mínimo).
- se
- Teste do sinal da primeira derivada: verificar o sinal de
à esquerda e à direita de . - se
muda de negativo para positivo em , há mínimo; - se muda de positivo para negativo, há máximo;
- se não há mudança de sinal (por exemplo
em ambos os lados), então não há extremo (pode ser ponto de inflexão com tangente horizontal, como em ).
- se
Passo 5
Resumo pedagógico e dica para prova: nunca afirme que
implica extremo sem verificar mais informação. Em prova, ao encontrar
faça pelo menos um dos seguintes: aplicar o teste da segunda derivada (se existir) ou analisar sinais de
em ambos os lados de
. Essas são maneiras rápidas e seguras de concluir se há um extremo.
Resposta
Falso.