(14) Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, explicitamente:
- o domínio de
; - as raízes de
; - os intervalos de crescimento e decrescimento;
- o estudo da concavidade e os pontos de inflexão;
- as assíntotas (se existirem), com os limites necessários;
- um esboço do gráfico — isto é, uma descrição clara da forma do gráfico e dos pontos/valores importantes.
Informações relevantes fornecidas diretamente pelo enunciado:
- A expressão contém um termo
no denominador do expoente, então é necessário verificar onde isso se anula. - A função é uma exponencial
, o que já dá pistas sobre positividade e continuidade onde o expoente está bem definido.
Passo 2
Determinar o domínio.
Analisar onde a expressão está bem definida: o expoente contém
, que exige
. Portanto
.
Conclui-se que o domínio é
Passo 3
Localizar as raízes (soluções de
).
Observação importante sobre a função exponencial: para todo número real
tem-se
. Aqui o valor de
é sempre uma exponencial de um número real (quando
está no domínio), logo
para todo
no domínio. Assim não existe
tal que
.
Conclusão: não há raízes reais.
Passo 4
Derivada e monotonicidade — calcular
passo a passo (regra da cadeia).
Escrevendo
com
. Pela regra da cadeia,
Calcular
. Escrever
. Então
Logo
Análise do sinal de
:
-
para todo no domínio; -
para todo .
Portantoem todo o domínio.
Conclusão sobre monotonicidade:
-
é estritamente crescente em e em . - Não existem pontos críticos internos (onde
), nem máximos/minimos locais (exceto comportamentos no ponto de descontinuidade ).
Passo 5
Segunda derivada e concavidade — cálculo detalhado.
Partimos de
com
. Então
Usando
obtemos
Calcular
. Como
,
Logo
Portanto
Análise do sinal de
:
-
e para todo . Assim o sinal de é o sinal de . - Se
(ou seja ), então e : concavidade para cima. - Se
(ou seja ), então e : concavidade para baixo. - Em
temos .
Conclusão sobre concavidade:
-
é côncava para cima em (porque todos esses satisfazem ) e também côncava para cima no trecho . -
é côncava para baixo em .
Ponto de inflexão:
- Há mudança de sinal de
ao atravessar (está no domínio), logo é ponto de inflexão. - Coordenada
: calcular
Então o ponto de inflexão é
.
Passo 6
Limites necessários e assíntotas verticais/horizontais.
Limites quando
e
:
- Quando
, e . Como a exponencial é contínua,
- Quando
, e também, então
Observação do lado pelo qual se aproxima 1:
- Para
, é ligeiramente negativo, logo aproxima 1 por abaixo. - Para
, é ligeiramente positivo, logo aproxima 1 por cima.
Conclusão: existe assíntota horizontal
quando
.
Limites ao redor de
:
- Para
(venho pelo lado direito, ), , então e
- Para
(venho pelo lado esquerdo, ), , então e
Como em pelo menos um dos lados a função diverge para
, a reta vertical
é uma assíntota vertical da função.
Passo 7
Resumo do esboço do gráfico — orientação e pontos importantes para desenhar na prova.
Pontos / valores-chave:
- Domínio:
. - Não há raízes.
- Limites:
e ⇒ assíntota horizontal . -
e ⇒ assíntota vertical . - Monotonicidade: crescente em ambos os ramos
e . - Concavidade:
- côncava para cima em
e em ; - ponto de inflexão em
; - côncava para baixo em
.
- côncava para cima em
- Comportamento dos ramos:
- Ramo esquerdo
: começa próximo de quando (ligeiramente acima de 1), é crescente e côncavo para cima, e diverge para ao aproximar . - Ramo direito
: começa muito próximo de quando , é crescente; ele é côncavo para cima até atingindo , depois torna-se côncavo para baixo e se aproxima de quando (por baixo).
- Ramo esquerdo
Dicas para desenhar na prova (passos práticos):
- Desenhe a reta vertical
como assíntota (linha tracejada). - Desenhe a reta horizontal
como assíntota. - No ramo esquerdo, trace uma curva que parte de um ponto próximo a
em , cresce com concavidade para cima e vai para quando se aproxima de pela esquerda. - No ramo direito, comece bem perto de
à direita de , faça a curva subir, passar por como ponto de inflexão, depois continuar subindo com concavidade para baixo e aproximar-se de quando .
Passo 8
Comentários finais e verificação rápida dos resultados (motivação e checagem simples).
- A função é simples de analisar porque a exponencial nunca zera e o único problema é o denominador do expoente.
- Toda derivada foi obtida usando regra da cadeia e diferenciação de potências; todas as simplificações são elementares e não exigem cálculo numérico complicado.
- Os pontos e limites identificados são suficientes para um esboço confiável na prova.
Resposta
Domínio:
.
Raízes: não existe nenhuma ( para todo
do domínio).
Crescimento/decrescimento: , logo
é estritamente crescente em
e em
.
Concavidade: . Assim
é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
.
Ponto de inflexão: .
Assíntotas: vertical em (
,
); horizontal
para
(
).
Raízes: não existe nenhuma (
Crescimento/decrescimento:
Concavidade:
Ponto de inflexão:
Assíntotas: vertical em