(14) Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
f(x)=e^{-1 /(x+1)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{-1/(x+1)}
e pede, explicitamente:
  • o domínio de f;
  • as raízes de f;
  • os intervalos de crescimento e decrescimento;
  • o estudo da concavidade e os pontos de inflexão;
  • as assíntotas (se existirem), com os limites necessários;
  • um esboço do gráfico — isto é, uma descrição clara da forma do gráfico e dos pontos/valores importantes.
Informações relevantes fornecidas diretamente pelo enunciado:
  • A expressão contém um termo (x+1) no denominador do expoente, então é necessário verificar onde isso se anula.
  • A função é uma exponencial e^{(\cdot)}, o que já dá pistas sobre positividade e continuidade onde o expoente está bem definido.

Passo 2

Determinar o domínio.
Analisar onde a expressão está bem definida: o expoente contém -1/(x+1), que exige x+1\neq 0. Portanto x\neq -1.
Conclui-se que o domínio é
(-\infty,-1)\cup(-1,\infty).

Passo 3

Localizar as raízes (soluções de f(x)=0).
Observação importante sobre a função exponencial: para todo número real t tem-se e^{t}>0. Aqui o valor de f(x) é sempre uma exponencial de um número real (quando x está no domínio), logo f(x)>0 para todo x no domínio. Assim não existe x tal que f(x)=0.
Conclusão: não há raízes reais.

Passo 4

Derivada e monotonicidade — calcular f'(x) passo a passo (regra da cadeia).
Escrevendo f(x)=e^{g(x)} com g(x)=-\dfrac{1}{x+1}. Pela regra da cadeia,
f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Calcular g'(x). Escrever g(x)=-(x+1)^{-1}. Então
g'(x)= -\bigl(-1\bigr)(x+1)^{-2}=\frac{1}{(x+1)^2}.
Logo
f'(x)=e^{-1/(x+1)}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{e^{-1/(x+1)}}{(x+1)^2}.
Análise do sinal de f'(x):
  • e^{-1/(x+1)}>0 para todo x no domínio;
  • (x+1)^2>0 para todo x\neq -1.
    Portanto f'(x)>0 em todo o domínio.
Conclusão sobre monotonicidade:
  • f é estritamente crescente em (-\infty,-1) e em (-1,\infty).
  • Não existem pontos críticos internos (onde f'=0), nem máximos/minimos locais (exceto comportamentos no ponto de descontinuidade x=-1).

Passo 5

Segunda derivada e concavidade — cálculo detalhado.
Partimos de f'(x)=f(x)\,h(x) com h(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}. Então
f''(x)=\bigl(f(x)h(x)\bigr)'=f'(x)h(x)+f(x)h'(x).
Usando f'(x)=f(x)h(x) obtemos
f''(x)=f(x)\bigl(h(x)^2+h'(x)\bigr).
Calcular h'(x). Como h(x)=(x+1)^{-2},
h'(x)=-2(x+1)^{-3}=-\frac{2}{(x+1)^3}.
Logo
h(x)^2+h'(x)=\frac{1}{(x+1)^4}-\frac{2}{(x+1)^3} =\frac{1-2(x+1)}{(x+1)^4} =\frac{-2x-1}{(x+1)^4}.
Portanto
f''(x)=f(x)\cdot\frac{-2x-1}{(x+1)^4} =-\frac{2x+1}{(x+1)^4}\,e^{-1/(x+1)}.
Análise do sinal de f''(x):
  • e^{-1/(x+1)}>0 e (x+1)^4>0 para todo x\neq -1. Assim o sinal de f'' é o sinal de -(2x+1).
  • Se 2x+1<0 (ou seja x<-\tfrac{1}{2}), então -(2x+1)>0 e f''(x)>0: concavidade para cima.
  • Se 2x+1>0 (ou seja x>-\tfrac{1}{2}), então -(2x+1)<0 e f''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Em x=-\tfrac{1}{2} temos f''(-\tfrac{1}{2})=0.
Conclusão sobre concavidade:
  • f é côncava para cima em (-\infty,-1) (porque todos esses x satisfazem x<-\tfrac{1}{2}) e também côncava para cima no trecho (-1,-\tfrac{1}{2}).
  • f é côncava para baixo em (- \tfrac{1}{2},\infty).
Ponto de inflexão:
  • Há mudança de sinal de f'' ao atravessar x=-\tfrac{1}{2} (está no domínio), logo x=-\tfrac{1}{2} é ponto de inflexão.
  • Coordenada y: calcular
f\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=e^{-1/(-\tfrac{1}{2}+1)}=e^{-1/(\tfrac{1}{2})}=e^{-2}.
Então o ponto de inflexão é \bigl(-\tfrac{1}{2},e^{-2}\bigr).

Passo 6

Limites necessários e assíntotas verticais/horizontais.
Limites quando x\to\infty e x\to-\infty:
  • Quando x\to\infty, x+1\to\infty e -\dfrac{1}{x+1}\to 0. Como a exponencial é contínua,
\lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} e^{-1/(x+1)}=e^{0}=1.
  • Quando x\to-\infty, x+1\to-\infty e -\dfrac{1}{x+1}\to 0 também, então
\lim_{x\to-\infty} f(x)=1.
Observação do lado pelo qual se aproxima 1:
  • Para x\to\infty, -1/(x+1) é ligeiramente negativo, logo f(x) aproxima 1 por abaixo.
  • Para x\to-\infty, -1/(x+1) é ligeiramente positivo, logo f(x) aproxima 1 por cima.
Conclusão: existe assíntota horizontal y=1 quando x\to\pm\infty.
Limites ao redor de x=-1:
  • Para x\to -1^{+} (venho pelo lado direito, x>-1), x+1\to 0^{+}, então -\dfrac{1}{x+1}\to -\infty e
\lim_{x\to -1^{+}} f(x)=\lim_{t\to -\infty} e^{t}=0.
  • Para x\to -1^{-} (venho pelo lado esquerdo, x<-1), x+1\to 0^{-}, então -\dfrac{1}{x+1}\to +\infty e
\lim_{x\to -1^{-}} f(x)=\lim_{t\to +\infty} e^{t}=+\infty.
Como em pelo menos um dos lados a função diverge para +\infty, a reta vertical x=-1 é uma assíntota vertical da função.

Passo 7

Resumo do esboço do gráfico — orientação e pontos importantes para desenhar na prova.
Pontos / valores-chave:
  • Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,\infty).
  • Não há raízes.
  • Limites: \lim_{x\to\infty}f(x)=1 e \lim_{x\to -\infty}f(x)=1 ⇒ assíntota horizontal y=1.
  • \lim_{x\to -1^{-}}f(x)=+\infty e \lim_{x\to -1^{+}}f(x)=0 ⇒ assíntota vertical x=-1.
  • Monotonicidade: crescente em ambos os ramos (-\infty,-1) e (-1,\infty).
  • Concavidade:
    • côncava para cima em (-\infty,-1) e em (-1,-\tfrac{1}{2});
    • ponto de inflexão em \bigl(-\tfrac{1}{2},e^{-2}\bigr);
    • côncava para baixo em (- \tfrac{1}{2},\infty).
  • Comportamento dos ramos:
    • Ramo esquerdo (-\infty,-1): começa próximo de y=1 quando x\to -\infty (ligeiramente acima de 1), é crescente e côncavo para cima, e diverge para +\infty ao aproximar x\to -1^{-}.
    • Ramo direito (-1,\infty): começa muito próximo de 0 quando x\to -1^{+}, é crescente; ele é côncavo para cima até x=-\tfrac{1}{2} atingindo f(-\tfrac{1}{2})=e^{-2}, depois torna-se côncavo para baixo e se aproxima de y=1 quando x\to\infty (por baixo).
Dicas para desenhar na prova (passos práticos):
  1. Desenhe a reta vertical x=-1 como assíntota (linha tracejada).
  2. Desenhe a reta horizontal y=1 como assíntota.
  3. No ramo esquerdo, trace uma curva que parte de um ponto próximo a y=1 em x\ll -1, cresce com concavidade para cima e vai para +\infty quando se aproxima de x=-1 pela esquerda.
  4. No ramo direito, comece bem perto de y=0 à direita de x=-1, faça a curva subir, passar por \bigl(-\tfrac{1}{2},e^{-2}\bigr) como ponto de inflexão, depois continuar subindo com concavidade para baixo e aproximar-se de y=1 quando x\to\infty.

Passo 8

Comentários finais e verificação rápida dos resultados (motivação e checagem simples).
  • A função é simples de analisar porque a exponencial nunca zera e o único problema é o denominador do expoente.
  • Toda derivada foi obtida usando regra da cadeia e diferenciação de potências; todas as simplificações são elementares e não exigem cálculo numérico complicado.
  • Os pontos e limites identificados são suficientes para um esboço confiável na prova.

Resposta

Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,\infty).
Raízes: não existe nenhuma ( f(x)>0 para todo x do domínio).
Crescimento/decrescimento: f'(x)=\dfrac{e^{-1/(x+1)}}{(x+1)^2}>0, logo f é estritamente crescente em (-\infty,-1) e em (-1,\infty).
Concavidade: f''(x)=-\dfrac{2x+1}{(x+1)^4}e^{-1/(x+1)}. Assim f é côncava para cima quando x<-\tfrac{1}{2} e côncava para baixo quando x>-\tfrac{1}{2}.
Ponto de inflexão: \bigl(-\tfrac{1}{2},e^{-2}\bigr).
Assíntotas: vertical em x=-1 ( \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty, \lim_{x\to-1^+}f(x)=0 ); horizontal y=1 para x\to\pm\infty ( \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1 ).

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