Podemos generalizar a álgebra dos números complexos para trabalhar com vetores. Tal procedimento é muito útil no regime harmônico onde no domínio do tempo um vetor que oscila com frequência
, pode ser escrito na forma geral:
ou ainda
sendo
. Verifique que
Definido-se a média temporal de uma função qualquer sobre um período
na forma abaixo:
mostre que, para dois objetos
e
quaisquer submetidos a uma operação de multiplicação qualquer: obtém-se em regime harmônico:
sendo
e
representações fasoriais de
e
. O resultado vale para quantidades vetoriais, como o produto escalar e vetorial, ou seja:
Passo 1
Vamos primeiro resumir o que o problema pede e quais ferramentas vamos usar: precisamos mostrar que a média temporal de um produto (ou operação bilinear) entre duas funções harmônicas f e g, escritas por seus fasores F e G, se reduz a metade da parte real de F⊗G*.
A gente sabe que em regime harmônico qualquer função f(x,t) pode ser escrita como uma parte real de um fasor multiplicado por e^{iωt}. Ou seja,
A gente sabe que em regime harmônico qualquer função f(x,t) pode ser escrita como uma parte real de um fasor multiplicado por e^{iωt}. Ou seja,
e de modo análogo para g(x,t) com seu fasor G(x).
Passo 2
Agora vamos montar o produto (ou operação ⊗) entre f e g usando essas representações em exponenciais:
Passo 3
Para calcular a média temporal definimos
Sabendo que em um período T as exponenciais e^{±i2ωt} se anulam (integral zero) e a integral de 1 é T, ficamos só com os termos não-oscilatórios:
Passo 4
Por fim, usamos que F^⊗G é justamente o conjugado de (F⊗G^), de modo que a soma vira 2·Re[F⊗G^*]. Assim
O mesmo raciocínio vale para produto escalar ou vetorial entre vetores de fasores, já que são operações bilineares e comutam com conjugação.