Podemos generalizar a álgebra dos números complexos para trabalhar com vetores. Tal procedimento é muito útil no regime harmônico onde no domínio do tempo um vetor que oscila com frequência omega, pode ser escrito na forma geral:
A(x, t)=A1(x) cos (omega t)+A2(x) sin (omega t)
ou ainda
A(x, t)=Re(Ac(x) e^i omega t)
sendo Ac(x)=A1(x)-i A2(x). Verifique que
A(x, t)=Ac(x) e^i omega t+Ac^*(x) e^-i omega t2
Definido-se a média temporal de uma função qualquer sobre um período T na forma abaixo:
lang<= F(t)rang<==1T integral0^T F(t) d t
mostre que, para dois objetos f e g quaisquer submetidos a uma operação de multiplicação qualquer: obtém-se em regime harmônico:
lang<= f(x, y, z, t) otimes g(x, y, z, t)rang<==12 Re[F(x, y, z) otimes G^*(x, y, z)]
sendo F e G representações fasoriais de f e g. O resultado vale para quantidades vetoriais, como o produto escalar e vetorial, ou seja:
lang<=A(x, y, z, t) cdot B(x, y, z, t)rang<= & =12 Re[A(x, y, z) cdot B^*(x, y, z)] lang<=A(x, y, z, t) times B(x, y, z, t)rang<= & =12 Re[A(x, y, z) times B^*(x, y, z)]

Passo 1

Vamos primeiro resumir o que o problema pede e quais ferramentas vamos usar: precisamos mostrar que a média temporal de um produto (ou operação bilinear) entre duas funções harmônicas f e g, escritas por seus fasores F e G, se reduz a metade da parte real de F⊗G*.
A gente sabe que em regime harmônico qualquer função f(x,t) pode ser escrita como uma parte real de um fasor multiplicado por e^{iωt}. Ou seja,
f(x,t)=Rel[F(x)e^iomega tr]=F(x)e^iomega t+F^*(x)e^-iomega t2,
e de modo análogo para g(x,t) com seu fasor G(x).

Passo 2

Agora vamos montar o produto (ou operação ⊗) entre f e g usando essas representações em exponenciais:
fotimes g =12l(Fe^iomega t+F^*e^-iomega tr) otimes 12l(Ge^iomega t+G^*e^-iomega tr) =14l(Fotimes G,e^i2omega t+Fotimes G^*+F^*otimes G+F^*otimes G^*,e^-i2omega tr)

Passo 3

Para calcular a média temporal definimos
lang<= fotimes grang<= =1Tintegral0^T(fotimes g),dt
Sabendo que em um período T as exponenciais e^{±i2ωt} se anulam (integral zero) e a integral de 1 é T, ficamos só com os termos não-oscilatórios:
lang<= fotimes grang<= =14Tintegral0^T l(Fotimes G^*+F^*otimes Gr),dt =14l(Fotimes G^*+F^*otimes Gr)

Passo 4

Por fim, usamos que F^⊗G é justamente o conjugado de (F⊗G^), de modo que a soma vira 2·Re[F⊗G^*]. Assim
lang<= fotimes grang<= =14,2,Rel[Fotimes G^*r] =12Rel[Fotimes G^*r]
O mesmo raciocínio vale para produto escalar ou vetorial entre vetores de fasores, já que são operações bilineares e comutam com conjugação.

Resposta

lang<= fotimes grang<==tfrac12Rel[Fotimes G^*r],\ncom o caso vetorial\n lang<= Acdot Brang<==tfrac12Re[ Acdot B^*] e\n lang<= Atimes Brang<==tfrac12Re[ Atimes B^*].

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